Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2415
2017-03-18 
Пробирка массой $M$ находится в вакууме. Перегородка массой $m$ и пренебрежимо малой толщины разделяет объем пробирки на две равные части. В закрытой части пробирки содержится $n$ молей одноатомного газа с молярной массой $M_{0}$ при температуре $T$. Перегородка освобождается и, двигаясь без трения, вылетает из пробирки. Затем вытекает из нее и газ. Какова будет конечная скорость пробирки, если в момент начала движения перегородки пробирка была неподвижна?
Газовая постоянная $R$ известна. Импульсом газа до вылета перегородки, а также теплообменом между газом, с одной стороны, и пробиркой с перегородкой — с другой, можно пренебречь. Изменением температуры газа после вылета перегородки пренебречь, земное притяжение не учитывать.
Решение:
До истечения газа, т. е. до момента вылета перегородки из пробирки, систему «пробирка с газом — перегородка» можно считать замкнутой. Запишем для нее законы сохранения импульса и энергии:
$(m + n M_{0}) v_{1} - mu = 0$, (1)
$\frac{(M+nM_{0}) v_{1}^{2}}{2} + \frac{mu^{2}}{2} = \Delta U$, (2)
где $_{1}$ — скорость пробирки в момент вылета перегородки со скоростью $u, \Delta U$ — изменение внутренней энергии газа. Так как газ идеальный и одноатомный, то
$\Delta U = 3/2 nR \Delta T = 3/2 nR(T - T_{к})$; (3)
$T_{к}$ — температура газа в момент вылета перегородки определяется из уравнения адиабатического расширения:
$PV^{ \gamma} = const$.
С учетом уравнения газового состояния $PV = nRT$ получим
$TV^{ \gamma - 1} = const, TV^{ \gamma - 1 } = T_{к}V_{к}^{ \gamma - 1}$.
Так как по условию задачи $V_{к} = 2V$, а показатель адиабаты для одноатомного газа равен $\gamma = c_{p}/c_{v} = 5/2R : 3/2R =5/3$, то
$T_{к} = T(V/V_{к})^{ \gamma - 1} = T/2^{2/3} = T \cdot 2^{-2/3}$. (4)
Решая уравнения (1)—(4) совместно, получаем
$v_{1} = \sqrt{3(1 - 2^{-2/3}) \frac{mnRT}{(nM_{0} + M)(m+ nM_{0} + M)}}$. (5)
Если допустить, что масса газа $nM_{0}$ много меньше массы пробирки и перегородку то формула (5) упрощается:
$v_{1} = \sqrt{3(1 - 2^{-2/3}) \frac{mnRT}{M(m + M)}}$. (5")
После вылета перегородки пробирка приобретает дополнительную скорость $v_{2}$ за счет упругих ударов атомов о дно пробирки. Каждый атом передает пробирке импульс, равный
$p = 2m_{A} \Delta \bar{v}_{x}$,
где $m_{A}$ — масса атома: $m_{A} = M_{0}/N_{A}$, а $\bar{v}_{x}$ выражается через среднюю квадратическую скорость атомов следующим образом:
$\bar{v}_{x} = \sqrt{ \frac{ \bar{v}^{2}}{3}}$, так как $\begin{cases} \bar{v}_{x}^{2} + \bar{v}_{y}^{2} + \bar{v}_{z}^{2} = \bar{v}^{2}, \\ \bar{v}_{x}^{2} = \bar{v}_{y}^{2} = \bar{v}_{z}^{2}. \end{cases}$
Следовательно, за счет упругого удара одного атома пробирка получает импульс
$\rho = 2 \frac{M_{0}}{N_{A}} \sqrt{ \frac{ \bar{v}^{2}}{3}}$.
Все расчеты мы проводим в системе отсчета, движущейся со скоростью $v_{1}$, и в предположении, что тепловые скорости движения атомов много больше скорости пробирки.
Так как в среднем о дно пробирки ударяется половина всех атомов, то полный импульс $\rho_{п}$, полученный пробиркой, равен
$p_{п} = \frac{1}{2} nN_{A} p = nM_{0} \sqrt{ \frac{ \bar{v}^{2}}{3}}$, (6)
а скорость пробирки $v_{2}$ в системе отсчета, движущейся со скоростью $v_{1}$, равна
$v_{2} = \frac{p_{n}}{M} = n \frac{M_{0}}{M} \sqrt{ \frac{ \bar{v}^{2}}{3}}$. (7)
Подставляя в полученное выражение значение средней квадратиче-ской скорости атомов
$\sqrt{ v^{2}} = \sqrt{ \frac{3RT_{к}}{M_{0}}}$
и учитывая выражение (4) для температуры $T_{к}$, получим
$v_{2} = 2^{-1/3} \frac{n \sqrt{M_{0}RT}}{M}$. (8)
Следовательно, искомая конечная скорость пробирки в системе отсчета, в которой в начальный момент пробирка была неподвижна, равна
$v = v_{1} + v_{2} = \sqrt{3(1-2^{-2/3}) \frac{mnRT}{(nM_{0}+M)(m + nM_{0} + M)}} + 2^{-1/3} \frac{ n \sqrt{M_{0}RT}}{M} \approx \sqrt{3(1-2^{-2/3}) \frac{mnRT}{M(m + M)}} + 2^{-1/3} \frac{n \sqrt{M_{0}RT}}{M}$.
Пробирка массой $M$ находится в вакууме. Перегородка массой $m$ и пренебрежимо малой толщины разделяет объем пробирки на две равные части. В закрытой части пробирки содержится $n$ молей одноатомного газа с молярной массой $M_{0}$ при температуре $T$. Перегородка освобождается и, двигаясь без трения, вылетает из пробирки. Затем вытекает из нее и газ. Какова будет конечная скорость пробирки, если в момент начала движения перегородки пробирка была неподвижна?
Газовая постоянная $R$ известна. Импульсом газа до вылета перегородки, а также теплообменом между газом, с одной стороны, и пробиркой с перегородкой — с другой, можно пренебречь. Изменением температуры газа после вылета перегородки пренебречь, земное притяжение не учитывать.
Решение:
До истечения газа, т. е. до момента вылета перегородки из пробирки, систему «пробирка с газом — перегородка» можно считать замкнутой. Запишем для нее законы сохранения импульса и энергии:
$(m + n M_{0}) v_{1} - mu = 0$, (1)
$\frac{(M+nM_{0}) v_{1}^{2}}{2} + \frac{mu^{2}}{2} = \Delta U$, (2)
где $_{1}$ — скорость пробирки в момент вылета перегородки со скоростью $u, \Delta U$ — изменение внутренней энергии газа. Так как газ идеальный и одноатомный, то
$\Delta U = 3/2 nR \Delta T = 3/2 nR(T - T_{к})$; (3)
$T_{к}$ — температура газа в момент вылета перегородки определяется из уравнения адиабатического расширения:
$PV^{ \gamma} = const$.
С учетом уравнения газового состояния $PV = nRT$ получим
$TV^{ \gamma - 1} = const, TV^{ \gamma - 1 } = T_{к}V_{к}^{ \gamma - 1}$.
Так как по условию задачи $V_{к} = 2V$, а показатель адиабаты для одноатомного газа равен $\gamma = c_{p}/c_{v} = 5/2R : 3/2R =5/3$, то
$T_{к} = T(V/V_{к})^{ \gamma - 1} = T/2^{2/3} = T \cdot 2^{-2/3}$. (4)
Решая уравнения (1)—(4) совместно, получаем
$v_{1} = \sqrt{3(1 - 2^{-2/3}) \frac{mnRT}{(nM_{0} + M)(m+ nM_{0} + M)}}$. (5)
Если допустить, что масса газа $nM_{0}$ много меньше массы пробирки и перегородку то формула (5) упрощается:
$v_{1} = \sqrt{3(1 - 2^{-2/3}) \frac{mnRT}{M(m + M)}}$. (5")
После вылета перегородки пробирка приобретает дополнительную скорость $v_{2}$ за счет упругих ударов атомов о дно пробирки. Каждый атом передает пробирке импульс, равный
$p = 2m_{A} \Delta \bar{v}_{x}$,
где $m_{A}$ — масса атома: $m_{A} = M_{0}/N_{A}$, а $\bar{v}_{x}$ выражается через среднюю квадратическую скорость атомов следующим образом:
$\bar{v}_{x} = \sqrt{ \frac{ \bar{v}^{2}}{3}}$, так как $\begin{cases} \bar{v}_{x}^{2} + \bar{v}_{y}^{2} + \bar{v}_{z}^{2} = \bar{v}^{2}, \\ \bar{v}_{x}^{2} = \bar{v}_{y}^{2} = \bar{v}_{z}^{2}. \end{cases}$
Следовательно, за счет упругого удара одного атома пробирка получает импульс
$\rho = 2 \frac{M_{0}}{N_{A}} \sqrt{ \frac{ \bar{v}^{2}}{3}}$.
Все расчеты мы проводим в системе отсчета, движущейся со скоростью $v_{1}$, и в предположении, что тепловые скорости движения атомов много больше скорости пробирки.
Так как в среднем о дно пробирки ударяется половина всех атомов, то полный импульс $\rho_{п}$, полученный пробиркой, равен
$p_{п} = \frac{1}{2} nN_{A} p = nM_{0} \sqrt{ \frac{ \bar{v}^{2}}{3}}$, (6)
а скорость пробирки $v_{2}$ в системе отсчета, движущейся со скоростью $v_{1}$, равна
$v_{2} = \frac{p_{n}}{M} = n \frac{M_{0}}{M} \sqrt{ \frac{ \bar{v}^{2}}{3}}$. (7)
Подставляя в полученное выражение значение средней квадратиче-ской скорости атомов
$\sqrt{ v^{2}} = \sqrt{ \frac{3RT_{к}}{M_{0}}}$
и учитывая выражение (4) для температуры $T_{к}$, получим
$v_{2} = 2^{-1/3} \frac{n \sqrt{M_{0}RT}}{M}$. (8)
Следовательно, искомая конечная скорость пробирки в системе отсчета, в которой в начальный момент пробирка была неподвижна, равна
$v = v_{1} + v_{2} = \sqrt{3(1-2^{-2/3}) \frac{mnRT}{(nM_{0}+M)(m + nM_{0} + M)}} + 2^{-1/3} \frac{ n \sqrt{M_{0}RT}}{M} \approx \sqrt{3(1-2^{-2/3}) \frac{mnRT}{M(m + M)}} + 2^{-1/3} \frac{n \sqrt{M_{0}RT}}{M}$.
