Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2414
2017-03-18 
В советско-французском эксперименте по оптической локации Луны импульсное излучение рубинового лазера на длине волны $\lambda = 0,69 мкм$ направлялось с помощью телескопа, имеющего диаметр зеркала $D = 2,6 м$, на лунную поверхность. На Луне был установлен отражатель, который работал как идеальное зеркало диаметром $d=20 см$, отражающее свет точно в обратном направлении. Отраженный свет улавливался тем же телескопом и фокусировался на фотоприемник.
1) С какой точностью должна быть установлена оптическая ось телескопа в этом эксперименте?
2) Пренебрегая потерями света в атмосфере Земли и в телескопе, оцените, какая доля световой энергии лазера будет после отражения от Луны зарегистрирована фотоприемником.
3) Можно ли отраженный световой импульс увидеть невооруженным глазом, если пороговую чувствительности глаза принять равной $n=100$ световых квантов, а энергию излучаемую лазером в течение импульса, равной $E = 1 Дж$.
4) Оцените выигрыш, который дает применение отражателя. Считать, что поверхность Луны рассеивает $\alpha = 10%$ падающего света равномерно в телесный угол $2 \pi$ ср.
Расстояние от Земли до Луны $L=380$ тыс. км. Диамети зрачка глаза принять равным $d_{зр}=5 мм$. Постоянная Планка $h = 6,6 \cdot 10^{-34} Дж \cdot с$.
Решение:
1) Точность установки оптической оси телескопа определяется расходимостью светового пучка вследствие дифракции на угол $\delta \phi$:
$\delta \phi \approx \lambda /D \approx 2,6 \cdot 10^{-7} рад \approx 0,05^{ \prime \prime}$.
2) Долю световой энергии лазера $К_{1}$ попавшей на отражатель, можно найти по отношению площади $S_{1}$ отражателя ($S_{1} = \pi d^{4}/4$) к площади $S_{2}$ светового пятна на Луне ($S_{2} = \pi r^{2}$, где $r = L \delta \phi \approx L \lambda /D$, $L$ — расстояние от Земли до Луны):
$K_{1} = \frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{d^{2}}{(2r)^{2}} = \frac{d^{2}D^{2}}{4 \lambda^{2} L^{2}}$.
Отраженный световой пучок тоже расходится и образует иа поверхности Земли световое пятно радиусом $R$:
$R = \lambda L /d$, так как $r \ll R$.
Поэтому доля $K_{2}$ отраженной энергии, попавшей в телескоп, составляет
$K_{2} = \frac{D^{2}}{(2R)^{2}} = \frac{D^{2}d^{2}}{4 \lambda^{2} L^{2}}$.
Доля $K_{0}$ энергии лазера, попавшей в телескоп после отражения света от отражателя на Луне, равна
$K_{0} = K_{1}K_{2} = \left ( \frac{dD}{2 \lambda L} \right )^{4} \approx 10^{-12}$.
3) В зрачок невооруженного глаза попадает во столько раз меньшая доля светового потока по сравнению с телескопом, во сколько раз площадь зрачка $S_{зр}$ меньше площади зеркала телескопа $S_{T}$:
$K_{зр} = K_{0} \frac{S_{зр}}{S_{T}} = K_{0} \frac{d_{зр}^{2}}{D^{2}} \approx 3,7 \cdot 10^{-18}$.
Поэтому число фотонов $N$, попавших в зрачок, равно
$N = \frac{E}{h \nu} K_{зр} = 12$.
Так как $N < n$, то невооруженным глазом зафиксировать отраженный импульс невозможно.
4) В отсутствие отражателя $\alpha = 10%$ энергии лазерного излучения, попавшего на Луну, рассеивается лунной поверхностью в телесном угле $\Omega_{1} = 2 \pi ср$.
Телесный угол, в котором видно с Луны зеркало телескопа, составляет
$\Omega_{2} = S_{T}/L^{2} = \pi D^{2} / 4 L^{2}$.
Поэтому в телескоп попадает доля $K$ энергии, равная
$K = \alpha \frac{ \Omega_{2}}{ \Omega_{1}} = \alpha \frac{D^{2}}{8L^{2}} \approx 0,5 \cdot 10^{-18}$.
Таким образом, выигрыш $\beta$, который дает применение отражателя, равен
$\beta = K_{0}/K \approx 2 \cdot 10^{6}$.
Примечание. Полученный результат является лишь оценочным, так как световой поток внутри угла распределяется неравномерно.
В советско-французском эксперименте по оптической локации Луны импульсное излучение рубинового лазера на длине волны $\lambda = 0,69 мкм$ направлялось с помощью телескопа, имеющего диаметр зеркала $D = 2,6 м$, на лунную поверхность. На Луне был установлен отражатель, который работал как идеальное зеркало диаметром $d=20 см$, отражающее свет точно в обратном направлении. Отраженный свет улавливался тем же телескопом и фокусировался на фотоприемник.
1) С какой точностью должна быть установлена оптическая ось телескопа в этом эксперименте?
2) Пренебрегая потерями света в атмосфере Земли и в телескопе, оцените, какая доля световой энергии лазера будет после отражения от Луны зарегистрирована фотоприемником.
3) Можно ли отраженный световой импульс увидеть невооруженным глазом, если пороговую чувствительности глаза принять равной $n=100$ световых квантов, а энергию излучаемую лазером в течение импульса, равной $E = 1 Дж$.
4) Оцените выигрыш, который дает применение отражателя. Считать, что поверхность Луны рассеивает $\alpha = 10%$ падающего света равномерно в телесный угол $2 \pi$ ср.
Расстояние от Земли до Луны $L=380$ тыс. км. Диамети зрачка глаза принять равным $d_{зр}=5 мм$. Постоянная Планка $h = 6,6 \cdot 10^{-34} Дж \cdot с$.
Решение:
1) Точность установки оптической оси телескопа определяется расходимостью светового пучка вследствие дифракции на угол $\delta \phi$:
$\delta \phi \approx \lambda /D \approx 2,6 \cdot 10^{-7} рад \approx 0,05^{ \prime \prime}$.
2) Долю световой энергии лазера $К_{1}$ попавшей на отражатель, можно найти по отношению площади $S_{1}$ отражателя ($S_{1} = \pi d^{4}/4$) к площади $S_{2}$ светового пятна на Луне ($S_{2} = \pi r^{2}$, где $r = L \delta \phi \approx L \lambda /D$, $L$ — расстояние от Земли до Луны):
$K_{1} = \frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{d^{2}}{(2r)^{2}} = \frac{d^{2}D^{2}}{4 \lambda^{2} L^{2}}$.
Отраженный световой пучок тоже расходится и образует иа поверхности Земли световое пятно радиусом $R$:
$R = \lambda L /d$, так как $r \ll R$.
Поэтому доля $K_{2}$ отраженной энергии, попавшей в телескоп, составляет
$K_{2} = \frac{D^{2}}{(2R)^{2}} = \frac{D^{2}d^{2}}{4 \lambda^{2} L^{2}}$.
Доля $K_{0}$ энергии лазера, попавшей в телескоп после отражения света от отражателя на Луне, равна
$K_{0} = K_{1}K_{2} = \left ( \frac{dD}{2 \lambda L} \right )^{4} \approx 10^{-12}$.
3) В зрачок невооруженного глаза попадает во столько раз меньшая доля светового потока по сравнению с телескопом, во сколько раз площадь зрачка $S_{зр}$ меньше площади зеркала телескопа $S_{T}$:
$K_{зр} = K_{0} \frac{S_{зр}}{S_{T}} = K_{0} \frac{d_{зр}^{2}}{D^{2}} \approx 3,7 \cdot 10^{-18}$.
Поэтому число фотонов $N$, попавших в зрачок, равно
$N = \frac{E}{h \nu} K_{зр} = 12$.
Так как $N < n$, то невооруженным глазом зафиксировать отраженный импульс невозможно.
4) В отсутствие отражателя $\alpha = 10%$ энергии лазерного излучения, попавшего на Луну, рассеивается лунной поверхностью в телесном угле $\Omega_{1} = 2 \pi ср$.
Телесный угол, в котором видно с Луны зеркало телескопа, составляет
$\Omega_{2} = S_{T}/L^{2} = \pi D^{2} / 4 L^{2}$.
Поэтому в телескоп попадает доля $K$ энергии, равная
$K = \alpha \frac{ \Omega_{2}}{ \Omega_{1}} = \alpha \frac{D^{2}}{8L^{2}} \approx 0,5 \cdot 10^{-18}$.
Таким образом, выигрыш $\beta$, который дает применение отражателя, равен
$\beta = K_{0}/K \approx 2 \cdot 10^{6}$.
Примечание. Полученный результат является лишь оценочным, так как световой поток внутри угла распределяется неравномерно.
