Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2413
2017-03-18 
Деталь, изготовленная из алюминия, взвешивается на аналитических весах с помощью латунных гирь. Один раз взвешивание производится в сухом воздухе, второй раз — во влажном при давлении паров воды $P_{в} = 2 \cdot 10^{3} Па$. Общее атмосферное давление ($P=10^{5} Па$) и температура ($t=20^{ \circ} С$) в обоих случаях одинаковы.
При какой массе детали можно заметить разницу в показаниях весов, если их чувствительность $m_{0} = 0,1 мг$?
Плотность алюминия $\rho_{1} = 2700 кг/м^{3}$, латуни — $\rho_{2} = 8500 кг/м^{3}$.
Решение:
На деталь и гири в первом случае действует выталкивающая архимедова сила со стороны сухого воздуха, во втором — со стороны влажного воздуха. Различие в показаниях весов $\Delta F$ определяется изменением разности этих сил.
Разность этих сил в сухом воздухе:
$\Delta F_{1} = \Delta V \rho_{в}^{ \prime} g$,
а во влажном:
$\Delta F_{2} = \Delta V \rho_{в}^{ \prime \prime} g$,
где $\Delta V$ —разность объемов детали и гири, $\rho_{в}^{ \prime}$ и $\rho_{в}^{ \prime \prime}$ — плотности сухого и влажного воздуха соответственно.
Тогда различие в показаниях весов $\Delta F$ можно записать как
$\Delta F = \Delta F_{1} - \Delta F_{2} = \Delta V g( \rho_{в}^{ \prime} - \rho_{в}^{ \prime \prime})$. (1)
По условию задачи эта разность должна быть замечена, т. е. $\Delta F \geq m_{0}g$, или $\Delta V( \rho_{в}^{ \prime} - \rho_{в}^{ \prime \prime})$, откуда
$\Delta V \geq \frac{m_{0}}{ \rho_{в}^{ \prime} - \rho_{в}^{ \prime \prime}}$. (2)
Разность объемов алюминиевой детали и латунных гирь определим из уравнения
$\Delta V = \frac{m}{ \rho_{1}} - \frac{m}{ \rho_{2}} = m \left ( \frac{ \rho_{2} - \rho_{1}}{ \rho_{1} \rho_{2}} \right )$, (3)
где $m$ — искомая масса детали. Из выражений (2) и (3) получаем
$m = \Delta V \frac{ \rho_{1} \rho_{2}}{ \rho_{2} - \rho_{1}} \geq \frac{m_{0}}{ \rho_{в}^{ \prime} - \rho_{в}^{ \prime \prime}} \frac{ \rho_{1} \rho_{2}}{ \rho_{2} - \rho_{1}}$, (4)
Для нахождения массы $m$ детали необходимо определить разность $\rho_{в}^{ \prime} - \rho_{в}^{ \prime \prime}$. При одинаковом общем давлении во втором случае часть сухого воздуха заменена паром:
$\rho_{в}^{ \prime} - \rho_{в}^{ \prime \prime} = \frac{ \Delta m_{в}}{V} - \frac{ \Delta m_{п}}{V}$.
Изменения массы воздуха $\Delta m_{в}$ и пара $\Delta m_{п}$ найдем, применив уравнение Менделеева—Клапейрона:
$\Delta m_{в} = \frac{P_{в}VM_{в}}{RT}, \Delta m_{п} = \frac{P_{в}VM_{п}}{RT}$,
откуда получим
$\rho_{в}^{ \prime} - \rho_{в}^{ \prime \prime} = \frac{P_{в}(M_{в} - M_{п})}{RT}$. (5)
Из уравнений (4) и (5) получаем
$m \geq \frac{m_{0}RT}{P_{в}(M_{в} - M_{п})} \frac{ \rho_{1} \rho_{2}}{ \rho_{2} - \rho_{1}}$. (6)
Подстановка числовых значений дает ответ: $m \geq 0,0432 кг \approx 43 г$.
Примечание. Когда мы записывали выражение (3), мы считали массу детали равной массе гирь, при этом мы допускали небольшую погрешность.
Можно использовать для решения задачи другой путь. Рассчитаем изменение архимедовой силы по изменению средней молярной массы воздуха.
В сухом воздухе условие равновесия детали и гирь запишем в виде
$\left ( \rho_{1} - \frac{M_{в}P}{RT} \right ) V_{1} = \left ( \rho_{2} - \frac{M_{в}P}{RT} \right ) V_{2}$. (7)
Во влажном воздухе молярная масса его равна
$M = M_{в} \frac{P_{в}}{P} + M_{п} \frac{P-P_{0}}{P}$, (8)
а условие обнаружения отклонения весов запишем в виде
$\left ( \rho_{1} - \frac{MP}{RT} \right ) V_{1} - \left ( \rho_{2} - \frac{MP}{RT} \right ) V_{2} \geq m_{0}$. (9)
Из выражений (7)—(9) можно получить более точный ответ:
$m \geq \frac{m_{0}RT \rho_{1} \rho_{2} - M_{в}P_{в}}{(M_{в} - M_{п})( \rho_{2} - \rho_{1})P_{в}}$. (10)
Так как $M_{в}P_{в} \ll m_{0} \rho_{1} \rho_{2} RT$, то оба полученные выражения (6) и (10) приводят к практически одинаковому числовому результату: $m \geq 43 г$.
Деталь, изготовленная из алюминия, взвешивается на аналитических весах с помощью латунных гирь. Один раз взвешивание производится в сухом воздухе, второй раз — во влажном при давлении паров воды $P_{в} = 2 \cdot 10^{3} Па$. Общее атмосферное давление ($P=10^{5} Па$) и температура ($t=20^{ \circ} С$) в обоих случаях одинаковы.
При какой массе детали можно заметить разницу в показаниях весов, если их чувствительность $m_{0} = 0,1 мг$?
Плотность алюминия $\rho_{1} = 2700 кг/м^{3}$, латуни — $\rho_{2} = 8500 кг/м^{3}$.
Решение:
На деталь и гири в первом случае действует выталкивающая архимедова сила со стороны сухого воздуха, во втором — со стороны влажного воздуха. Различие в показаниях весов $\Delta F$ определяется изменением разности этих сил.
Разность этих сил в сухом воздухе:
$\Delta F_{1} = \Delta V \rho_{в}^{ \prime} g$,
а во влажном:
$\Delta F_{2} = \Delta V \rho_{в}^{ \prime \prime} g$,
где $\Delta V$ —разность объемов детали и гири, $\rho_{в}^{ \prime}$ и $\rho_{в}^{ \prime \prime}$ — плотности сухого и влажного воздуха соответственно.
Тогда различие в показаниях весов $\Delta F$ можно записать как
$\Delta F = \Delta F_{1} - \Delta F_{2} = \Delta V g( \rho_{в}^{ \prime} - \rho_{в}^{ \prime \prime})$. (1)
По условию задачи эта разность должна быть замечена, т. е. $\Delta F \geq m_{0}g$, или $\Delta V( \rho_{в}^{ \prime} - \rho_{в}^{ \prime \prime})$, откуда
$\Delta V \geq \frac{m_{0}}{ \rho_{в}^{ \prime} - \rho_{в}^{ \prime \prime}}$. (2)
Разность объемов алюминиевой детали и латунных гирь определим из уравнения
$\Delta V = \frac{m}{ \rho_{1}} - \frac{m}{ \rho_{2}} = m \left ( \frac{ \rho_{2} - \rho_{1}}{ \rho_{1} \rho_{2}} \right )$, (3)
где $m$ — искомая масса детали. Из выражений (2) и (3) получаем
$m = \Delta V \frac{ \rho_{1} \rho_{2}}{ \rho_{2} - \rho_{1}} \geq \frac{m_{0}}{ \rho_{в}^{ \prime} - \rho_{в}^{ \prime \prime}} \frac{ \rho_{1} \rho_{2}}{ \rho_{2} - \rho_{1}}$, (4)
Для нахождения массы $m$ детали необходимо определить разность $\rho_{в}^{ \prime} - \rho_{в}^{ \prime \prime}$. При одинаковом общем давлении во втором случае часть сухого воздуха заменена паром:
$\rho_{в}^{ \prime} - \rho_{в}^{ \prime \prime} = \frac{ \Delta m_{в}}{V} - \frac{ \Delta m_{п}}{V}$.
Изменения массы воздуха $\Delta m_{в}$ и пара $\Delta m_{п}$ найдем, применив уравнение Менделеева—Клапейрона:
$\Delta m_{в} = \frac{P_{в}VM_{в}}{RT}, \Delta m_{п} = \frac{P_{в}VM_{п}}{RT}$,
откуда получим
$\rho_{в}^{ \prime} - \rho_{в}^{ \prime \prime} = \frac{P_{в}(M_{в} - M_{п})}{RT}$. (5)
Из уравнений (4) и (5) получаем
$m \geq \frac{m_{0}RT}{P_{в}(M_{в} - M_{п})} \frac{ \rho_{1} \rho_{2}}{ \rho_{2} - \rho_{1}}$. (6)
Подстановка числовых значений дает ответ: $m \geq 0,0432 кг \approx 43 г$.
Примечание. Когда мы записывали выражение (3), мы считали массу детали равной массе гирь, при этом мы допускали небольшую погрешность.
Можно использовать для решения задачи другой путь. Рассчитаем изменение архимедовой силы по изменению средней молярной массы воздуха.
В сухом воздухе условие равновесия детали и гирь запишем в виде
$\left ( \rho_{1} - \frac{M_{в}P}{RT} \right ) V_{1} = \left ( \rho_{2} - \frac{M_{в}P}{RT} \right ) V_{2}$. (7)
Во влажном воздухе молярная масса его равна
$M = M_{в} \frac{P_{в}}{P} + M_{п} \frac{P-P_{0}}{P}$, (8)
а условие обнаружения отклонения весов запишем в виде
$\left ( \rho_{1} - \frac{MP}{RT} \right ) V_{1} - \left ( \rho_{2} - \frac{MP}{RT} \right ) V_{2} \geq m_{0}$. (9)
Из выражений (7)—(9) можно получить более точный ответ:
$m \geq \frac{m_{0}RT \rho_{1} \rho_{2} - M_{в}P_{в}}{(M_{в} - M_{п})( \rho_{2} - \rho_{1})P_{в}}$. (10)
Так как $M_{в}P_{в} \ll m_{0} \rho_{1} \rho_{2} RT$, то оба полученные выражения (6) и (10) приводят к практически одинаковому числовому результату: $m \geq 43 г$.
