Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2412
2017-03-18 
Космический корабль массы $M=12 т$ движется вокруг Луны по круговой орбите на высоте $h = 100 км$. Для перехода на орбиту прилунения на короткое время включается двигатель. Скорость вылетающих из сопла ракеты газов $u=10^{4} м/с$. Радиус Луны $R_{л} = 1,7 \cdot 10^{3} км$, ускорение свободного падения у поверхности Луны $g_{л} = 1,7 м/с^{2}$.
1) Какое количество топлива необходимо израсходовать для того, чтобы при включении тормозного двигателя в точке А траектории корабль опустился на Луну в точке В (рис. 1)?
2) Во втором варианте прилунения кораблю в точке А сообщается импульс в направлении на центр Луны, чтобы перевести корабль на орбиту, касающуюся Луны в точке С (рис. 2). Какое количество топлива необходимо израсходовать в этом случае?
рис.1
рис.2
Решение:
1) При движении корабля по круговой орбите его центростремительное ускорение создается силой тяготения к Луне:
$G \frac{MM_{Л}}{R^{2}} = \frac{Mv_{0}^{2}}{R}$,
где $R = R_{Л} + h$ — радиус первоначальной орбиты, $v_{0}$ — скорость корабля на круговой орбите:
$v_{0} = \sqrt{G \frac{M_{Л}}{R}}$.
Так как $g_{Л} = G \frac{M_{Л}}{R_{Л}^{2}}$, то
$v_{0} = \sqrt{ \frac{g_{Л}R_{Л}^{2}}{R}} = R_{Л} \sqrt{ \frac{g_{Л}}{R_{Л} + h}}$. (1)
После включения тормозного двигателя, сообщающего кораблю импульс, касательный к траектории, скорость корабля останется перпендикулярной к радиус-вектору ОА (рнс.). Корабль при этом начинает двигаться по эллипсу с фокусом в центре Луны.
Обозначив $v_{A}$ и $v_{B}$ — скорости корабля в точках А и В, запишем уравнения законов сохранения энергии и момента импульса:
$\frac{Mv_{A}^{2}}{2} - G \frac{MM_{Л}}{R} = \frac{Mv_{B}^{2}}{2} - G \frac{MM_{Л}}{R_{Л}}$, (2)
$Mv_{A}R = Mv_{B}R_{Л}$. (3)
Решая уравнения (2) и (3) совместно, находим
$v_{A} = \sqrt{ 2G \frac{M_{Л}R_{Л}}{R(R+R_{Л})}}$.
С учетом выражения (1) получим
$v_{A} = v_{0} \sqrt{ \frac{2R_{Л}}{R+R_{Л}}}$.
Следовательно, изменение скорости $\Delta v$ корабля в точке А должно быть
$\Delta v = v_{0} - v_{A} = v_{0} \left ( 1 - \sqrt{ \frac{2R_{Л}}{R+R_{Л}}} \right ) = v_{0} \left ( 1 - \sqrt{ \frac{2R_{Л}}{2R_{Л} + h}} \right ) = 24 м/с$.
Так как двигатель включается на короткое время, закон сохранения импульса для системы «корабль — топливо» можно записать в виде
$(M - m_{1}) \Delta v = m_{1}u$,
где $m_{1}$ — масса сгоревшего топлива.
Отсюда получаем
$m_{1} = \frac{ \Delta v}{ u + \Delta v} M$.
С учетом того, что $\Delta v \ll u$, находим
$m_{1} \approx \frac{ \Delta v}{u} M = 29 кг$.
2) Во втором случае вектор $\Delta v_{2}$ направлен перпендикулярно вектору $v_{0}$, поэтому
$v_{A} = v_{0} + \Delta v_{2}, v_{A} \sqrt{ v_{0}^{2} + \Delta v_{2}^{2}}$.
На основании закона сохранения энергии в этом случае можно записать уравнение
$\frac{M(v_{0}^{2} + \Delta v_{2}^{2})}{2} - \frac{GMM_{Л}}{R} = \frac{Mv_{C}^{2}}{2} - \frac{GMM_{Л}}{R_{Л}}$, (4)
а на основании закона сохранения момента импульса—уравнение
$Mv_{0}R = Mv_{C} R_{Л}$. (5)
Решая уравнения (4) и (5) совместно и учитывая выражение (1), находим
$\Delta v_{2} = \sqrt{ g_{Л} \frac{(R-R_{Л})^{2}}{R}} = h \sqrt{ \frac{g_{Л}}{R_{Л}+h}} \approx 97 м/с$.
Используя закон сохранения импульса, получим
$m_{2} = \frac{ \Delta v_{2}}{u} M \approx 116 кг$.
Космический корабль массы $M=12 т$ движется вокруг Луны по круговой орбите на высоте $h = 100 км$. Для перехода на орбиту прилунения на короткое время включается двигатель. Скорость вылетающих из сопла ракеты газов $u=10^{4} м/с$. Радиус Луны $R_{л} = 1,7 \cdot 10^{3} км$, ускорение свободного падения у поверхности Луны $g_{л} = 1,7 м/с^{2}$.
1) Какое количество топлива необходимо израсходовать для того, чтобы при включении тормозного двигателя в точке А траектории корабль опустился на Луну в точке В (рис. 1)?
2) Во втором варианте прилунения кораблю в точке А сообщается импульс в направлении на центр Луны, чтобы перевести корабль на орбиту, касающуюся Луны в точке С (рис. 2). Какое количество топлива необходимо израсходовать в этом случае?
рис.1
рис.2
Решение:
1) При движении корабля по круговой орбите его центростремительное ускорение создается силой тяготения к Луне:
$G \frac{MM_{Л}}{R^{2}} = \frac{Mv_{0}^{2}}{R}$,
где $R = R_{Л} + h$ — радиус первоначальной орбиты, $v_{0}$ — скорость корабля на круговой орбите:
$v_{0} = \sqrt{G \frac{M_{Л}}{R}}$.
Так как $g_{Л} = G \frac{M_{Л}}{R_{Л}^{2}}$, то
$v_{0} = \sqrt{ \frac{g_{Л}R_{Л}^{2}}{R}} = R_{Л} \sqrt{ \frac{g_{Л}}{R_{Л} + h}}$. (1)
После включения тормозного двигателя, сообщающего кораблю импульс, касательный к траектории, скорость корабля останется перпендикулярной к радиус-вектору ОА (рнс.). Корабль при этом начинает двигаться по эллипсу с фокусом в центре Луны.
Обозначив $v_{A}$ и $v_{B}$ — скорости корабля в точках А и В, запишем уравнения законов сохранения энергии и момента импульса:
$\frac{Mv_{A}^{2}}{2} - G \frac{MM_{Л}}{R} = \frac{Mv_{B}^{2}}{2} - G \frac{MM_{Л}}{R_{Л}}$, (2)
$Mv_{A}R = Mv_{B}R_{Л}$. (3)
Решая уравнения (2) и (3) совместно, находим
$v_{A} = \sqrt{ 2G \frac{M_{Л}R_{Л}}{R(R+R_{Л})}}$.
С учетом выражения (1) получим
$v_{A} = v_{0} \sqrt{ \frac{2R_{Л}}{R+R_{Л}}}$.
Следовательно, изменение скорости $\Delta v$ корабля в точке А должно быть
$\Delta v = v_{0} - v_{A} = v_{0} \left ( 1 - \sqrt{ \frac{2R_{Л}}{R+R_{Л}}} \right ) = v_{0} \left ( 1 - \sqrt{ \frac{2R_{Л}}{2R_{Л} + h}} \right ) = 24 м/с$.
Так как двигатель включается на короткое время, закон сохранения импульса для системы «корабль — топливо» можно записать в виде
$(M - m_{1}) \Delta v = m_{1}u$,
где $m_{1}$ — масса сгоревшего топлива.
Отсюда получаем
$m_{1} = \frac{ \Delta v}{ u + \Delta v} M$.
С учетом того, что $\Delta v \ll u$, находим
$m_{1} \approx \frac{ \Delta v}{u} M = 29 кг$.
2) Во втором случае вектор $\Delta v_{2}$ направлен перпендикулярно вектору $v_{0}$, поэтому
$v_{A} = v_{0} + \Delta v_{2}, v_{A} \sqrt{ v_{0}^{2} + \Delta v_{2}^{2}}$.
На основании закона сохранения энергии в этом случае можно записать уравнение
$\frac{M(v_{0}^{2} + \Delta v_{2}^{2})}{2} - \frac{GMM_{Л}}{R} = \frac{Mv_{C}^{2}}{2} - \frac{GMM_{Л}}{R_{Л}}$, (4)
а на основании закона сохранения момента импульса—уравнение
$Mv_{0}R = Mv_{C} R_{Л}$. (5)
Решая уравнения (4) и (5) совместно и учитывая выражение (1), находим
$\Delta v_{2} = \sqrt{ g_{Л} \frac{(R-R_{Л})^{2}}{R}} = h \sqrt{ \frac{g_{Л}}{R_{Л}+h}} \approx 97 м/с$.
Используя закон сохранения импульса, получим
$m_{2} = \frac{ \Delta v_{2}}{u} M \approx 116 кг$.
