Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2411
2017-03-18 
Электроны ускоряются в электронной пушке электрическим полем, проходя отрезок пути, напряжение на концах которого $U = 10^{3} В$. Вылетев из пушки в точке Т, электроны движутся затем по прямой $TT^{ \prime}$ (рис.). В точке М на расстоянии $d = 5,0 см$ от точки Т находится мишень, причем прямая ТМ образует угол $\alpha =60^{ \circ}$ с прямой $TT^{ \prime}$.
1) Какой должна быть индукция $\vec{B}$ однородного магнитного поля, перпендикулярного плоскости рисунка, чтобы электроны, вылетевшие из пушки, попадали в мишень?
2) Какой должна быть индукция $\vec{B}_{1}$ однородного магнитного поля, параллельного прямой ТМ, чтобы электроны попадали в мишень?
Считать, что модули векторов индукции $\vec{B}$ и $\vec{B}_{1}$ не превышают 0,03 Тл.
Решение:
рис.1
рис.2
1) Электроны попадают в магнитное поле, имея скорость $v$, которую они приобрели, ускоряясь в электрическом поле:
$eU = mv^{2}/2$,
$v= \sqrt{2eU/m}$, (1)
где $e$ и $m$ — заряд и масса электрона. В случае, когда вектор индукции магнитного поля $\vec{B}$ перпендикулярен плоскости рисунка (рис. 1), электроны движутся в этом поле по окружности, которая касается прямой $TT^{ \prime}$ в точке $T$, и попадают в точку М мишени.
Центростремительное ускорение электронов создается силой Лоренца $F_{Л} = evB$:
$v^{2}/R = evB/m$.
Искомая индукция магнитного поля равна
$B = mv/eR$. (2)
Подставляя в эту формулу выражение (1), получим
$B = \frac{1}{R} \sqrt{ \frac{2mU}{e}}$, (3)
Из рис. 1 видно, что
$R = \frac{d}{2 \sin \alpha}$. (4)
Подставив (4) в (3), получим ответ задачи в общем виде:
$B = \frac{2 \sin \alpha}{d} \sqrt{ \frac{2mU}{e}}$ (5)
и найдем числовое значение индукции: $B=3,7 \cdot 10^{-3} Тл$.
2) В этом случае электроны влетают в магнитное поле под углом $\alpha$ к вектору индукции магнитного поля $\vec{B}_{1}$ и движутся по спирали. Это сложное движение можно представить как результат двух движений: равномерного движения со скоростью $v_{1} = v \cos \alpha$ в направлении линий индукции магнитного поля и равномерного движения по окружности со скоростью $v_{2} = v \sin \alpha$ а в плоскости, перпендикулярной прямой ТМ (рис. 2).
Сделав целый оборот вокруг оси спирали за время $t = 2 \pi R_{1}/v_{2}$, электроны пересекут прямую ТМ на расстоянии $l = v_{1}t$ от точки Т. Чтобы электроны попали в мишень М, им необходимо сделать целое число оборотов, т. е. чтобы расстояние $TM = d$ содержало целое число отрезков $l$:
$d = nl = nv_{1} \frac{2 \pi R_{1}}{v_{2}} = 2 \pi R_{1} n \frac{v_{1}}{v_{2}} = 2 \pi R_{1} n ctg \alpha$. (6)
При движении электронов по окружности под действием силы Лоренца $ev_{2}B_{1} = mv_{2}^{2}/R_{1}$,
$R_{1} = mv_{2}/eB_{1}$. (7)
Учитывая, что $v_{2} = v \cos \alpha$, и используя полученное выражение для скорости электрона $v$ (1), получим:
$R_{1} = \frac{1}{B} \sqrt{ \frac{2mU}{e}} \sin \alpha$. (8)
Из (6) и (8) получаем
$d = 2 \pi \frac{n}{B_{1}} \sqrt{ \frac{2mU}{e}} \cos \alpha$
и находим искомое значение индукции $B_{1}$ магнитного поля:
$B_{1} = \frac{2 \pi n \cos \alpha}{ d} \sqrt{ \frac{2mU}{e}} = n 6,7 \cdot 10^{-3} Тл$
По условию задачи $B_{1} \leq 3 \cdot 10^{-2} Тл$, поэтому возможны такие значения модуля индукции $B_{1}$ при $n=1, 2, 3, 4: B_{1} = 6,7 \cdot 10^{-3} Тл; B_{1}^{ \prime} = 1,34 \cdot 10^{-2} Тл; B_{1}^{ \prime \prime} = 2,01 \cdot 10^{-2} Тл; B_{1}^{ \prime \prime \prime} = 2,68 \cdot 10^{-2} Тл$. (При больших $n$ значения $B \geq 3 \cdot 10^{-2} Тл$.)
Электроны ускоряются в электронной пушке электрическим полем, проходя отрезок пути, напряжение на концах которого $U = 10^{3} В$. Вылетев из пушки в точке Т, электроны движутся затем по прямой $TT^{ \prime}$ (рис.). В точке М на расстоянии $d = 5,0 см$ от точки Т находится мишень, причем прямая ТМ образует угол $\alpha =60^{ \circ}$ с прямой $TT^{ \prime}$.
1) Какой должна быть индукция $\vec{B}$ однородного магнитного поля, перпендикулярного плоскости рисунка, чтобы электроны, вылетевшие из пушки, попадали в мишень?
2) Какой должна быть индукция $\vec{B}_{1}$ однородного магнитного поля, параллельного прямой ТМ, чтобы электроны попадали в мишень?
Считать, что модули векторов индукции $\vec{B}$ и $\vec{B}_{1}$ не превышают 0,03 Тл.
Решение:
рис.1
рис.2
1) Электроны попадают в магнитное поле, имея скорость $v$, которую они приобрели, ускоряясь в электрическом поле:
$eU = mv^{2}/2$,
$v= \sqrt{2eU/m}$, (1)
где $e$ и $m$ — заряд и масса электрона. В случае, когда вектор индукции магнитного поля $\vec{B}$ перпендикулярен плоскости рисунка (рис. 1), электроны движутся в этом поле по окружности, которая касается прямой $TT^{ \prime}$ в точке $T$, и попадают в точку М мишени.
Центростремительное ускорение электронов создается силой Лоренца $F_{Л} = evB$:
$v^{2}/R = evB/m$.
Искомая индукция магнитного поля равна
$B = mv/eR$. (2)
Подставляя в эту формулу выражение (1), получим
$B = \frac{1}{R} \sqrt{ \frac{2mU}{e}}$, (3)
Из рис. 1 видно, что
$R = \frac{d}{2 \sin \alpha}$. (4)
Подставив (4) в (3), получим ответ задачи в общем виде:
$B = \frac{2 \sin \alpha}{d} \sqrt{ \frac{2mU}{e}}$ (5)
и найдем числовое значение индукции: $B=3,7 \cdot 10^{-3} Тл$.
2) В этом случае электроны влетают в магнитное поле под углом $\alpha$ к вектору индукции магнитного поля $\vec{B}_{1}$ и движутся по спирали. Это сложное движение можно представить как результат двух движений: равномерного движения со скоростью $v_{1} = v \cos \alpha$ в направлении линий индукции магнитного поля и равномерного движения по окружности со скоростью $v_{2} = v \sin \alpha$ а в плоскости, перпендикулярной прямой ТМ (рис. 2).
Сделав целый оборот вокруг оси спирали за время $t = 2 \pi R_{1}/v_{2}$, электроны пересекут прямую ТМ на расстоянии $l = v_{1}t$ от точки Т. Чтобы электроны попали в мишень М, им необходимо сделать целое число оборотов, т. е. чтобы расстояние $TM = d$ содержало целое число отрезков $l$:
$d = nl = nv_{1} \frac{2 \pi R_{1}}{v_{2}} = 2 \pi R_{1} n \frac{v_{1}}{v_{2}} = 2 \pi R_{1} n ctg \alpha$. (6)
При движении электронов по окружности под действием силы Лоренца $ev_{2}B_{1} = mv_{2}^{2}/R_{1}$,
$R_{1} = mv_{2}/eB_{1}$. (7)
Учитывая, что $v_{2} = v \cos \alpha$, и используя полученное выражение для скорости электрона $v$ (1), получим:
$R_{1} = \frac{1}{B} \sqrt{ \frac{2mU}{e}} \sin \alpha$. (8)
Из (6) и (8) получаем
$d = 2 \pi \frac{n}{B_{1}} \sqrt{ \frac{2mU}{e}} \cos \alpha$
и находим искомое значение индукции $B_{1}$ магнитного поля:
$B_{1} = \frac{2 \pi n \cos \alpha}{ d} \sqrt{ \frac{2mU}{e}} = n 6,7 \cdot 10^{-3} Тл$
По условию задачи $B_{1} \leq 3 \cdot 10^{-2} Тл$, поэтому возможны такие значения модуля индукции $B_{1}$ при $n=1, 2, 3, 4: B_{1} = 6,7 \cdot 10^{-3} Тл; B_{1}^{ \prime} = 1,34 \cdot 10^{-2} Тл; B_{1}^{ \prime \prime} = 2,01 \cdot 10^{-2} Тл; B_{1}^{ \prime \prime \prime} = 2,68 \cdot 10^{-2} Тл$. (При больших $n$ значения $B \geq 3 \cdot 10^{-2} Тл$.)
