Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2410
2017-03-18 
Прямоугольная проволочная рамка с размерами сторон $a=0,020 м$ и $b=0,30 м$ погружается в мыльную воду, благодаря чему на ней образуется мыльная пленка. При наблюдении в отраженном свете, угол падения которого $\alpha = 30^{ \circ}$, пленка кажется зеленой ($\lambda = 500 нм$).
1) Можно ли найти массу этой пленки с помощью весов, чувствительность которых 0,1 мг? Плотность мыльного раствора $\rho = 10^{3} кг/м^{3}$, показатель преломления пленки $n=1,33$.
2) Какого цвета будет казаться самая тонкая из пленок, удовлетворяющих условию задачи, если свет \м будет падать на нее и затем отражаться перпендикулярно пленке?
Решение:
1) Для ответа на первый вопрос задачи нужно рассчитать минимальную массу пленки $m_{min}$ и сравнить ее с чувствительностью весов $\Delta = 0,1 мг$:
$m_{min} = abd_{min} \rho$,
где $d_{min}$ — толщина самой тонкой пленки, при которой возможен интерференционный максимум для света с длиной волны $\lambda_{0}$.
Интерференция происходит между лучами 1 и 2 (рис.). Оптическая разность хода этих лучей равна
$\Delta = (AB + BC)n - DC = 2 \frac{dn}{ \cos \beta} - 2d tg \beta \sin \alpha$.
Согласно закону преломления $n = \sin \alpha / \sin \beta$, поэтому
$\Delta = \frac{2dn}{ \cos \beta} (1 - \sin^{2} \beta) = 2dn \cos \beta$. (1)
Известно, что при отражении луча 2 в точке С происходит изменение фазы волны на $\pi$, т. е. «теряется» половина волны. Поэтому оптическая разность хода волн в точке наблюдения равна
$\Delta^{ \prime} = 2dn \cos \beta - \frac{ \lambda }{2}$. (2)
Запишем условие интерференционного максимума:
$\Delta^{ \prime} = 2k \frac{ \lambda_{0}}{2}$,
где $k$ — целое число. Тогда
$2dn \cos \beta - \frac{ \lambda_{0}}{2} = 2k \frac{ \lambda_{0}}{2}$, или $2dn \cos \beta = (2k+1) \frac{ \lambda_{0}}{2}$. (3)
Из выражения (3) найдем толщину самой тонкой пленки $d$:
$d = \frac{(2k+1) \lambda_{0}}{4n \cos \beta} = \frac{(2k+1) \lambda_{0}}{4n \sqrt{1 - \sin^{2} \beta}} = \frac{(2k+1) \lambda_{0}}{ 4n \sqrt{1 - \sin^{2} \alpha / n^{2}}} = \frac{(2k+1) \lambda_{0}}{4 \sqrt{ n^{2} - \sin^{2} \alpha}}$. (4)
Толщину самой тонкой пленки $d_{min}$ можно определить при $k = 0$
$d_{min} = \frac{ \lambda_{0}}{4} \frac{1}{ \sqrt{n^{2} - \sin^{2} \alpha}} \approx 10^{-7} м$.
Минимальная масса пленки равна
$m_{min} = abd_{min} \rho = 6 \cdot 10^{-8} кг = 0,06 мг < 0,1 мг$,
следовательно, массу этой пленки измерить на наших весах нельзя.
2) При нормальном падении и отражении света ($\alpha=0$) выражение (4) запишем в виде
$d = \frac{2k+1}{n} \frac{ \lambda}{4}$. (5)
При $k = 0$
$d_{min} = \frac{ \lambda}{4n}$. (6)
Отсюда получаем, что длина волны $\lambda$ излучения, для которой выполняется условие интерференционного максимума для самой тонкой мыльной пленки, равна $\lambda = 4 nd_{min} \approx 5,32 \cdot 10^{-7} м$, что соответствует зеленому цвету. Значит, при освещении белым светом пленка будет казаться зеленой.
Прямоугольная проволочная рамка с размерами сторон $a=0,020 м$ и $b=0,30 м$ погружается в мыльную воду, благодаря чему на ней образуется мыльная пленка. При наблюдении в отраженном свете, угол падения которого $\alpha = 30^{ \circ}$, пленка кажется зеленой ($\lambda = 500 нм$).
1) Можно ли найти массу этой пленки с помощью весов, чувствительность которых 0,1 мг? Плотность мыльного раствора $\rho = 10^{3} кг/м^{3}$, показатель преломления пленки $n=1,33$.
2) Какого цвета будет казаться самая тонкая из пленок, удовлетворяющих условию задачи, если свет \м будет падать на нее и затем отражаться перпендикулярно пленке?
Решение:
1) Для ответа на первый вопрос задачи нужно рассчитать минимальную массу пленки $m_{min}$ и сравнить ее с чувствительностью весов $\Delta = 0,1 мг$:
$m_{min} = abd_{min} \rho$,
где $d_{min}$ — толщина самой тонкой пленки, при которой возможен интерференционный максимум для света с длиной волны $\lambda_{0}$.
Интерференция происходит между лучами 1 и 2 (рис.). Оптическая разность хода этих лучей равна
$\Delta = (AB + BC)n - DC = 2 \frac{dn}{ \cos \beta} - 2d tg \beta \sin \alpha$.
Согласно закону преломления $n = \sin \alpha / \sin \beta$, поэтому
$\Delta = \frac{2dn}{ \cos \beta} (1 - \sin^{2} \beta) = 2dn \cos \beta$. (1)
Известно, что при отражении луча 2 в точке С происходит изменение фазы волны на $\pi$, т. е. «теряется» половина волны. Поэтому оптическая разность хода волн в точке наблюдения равна
$\Delta^{ \prime} = 2dn \cos \beta - \frac{ \lambda }{2}$. (2)
Запишем условие интерференционного максимума:
$\Delta^{ \prime} = 2k \frac{ \lambda_{0}}{2}$,
где $k$ — целое число. Тогда
$2dn \cos \beta - \frac{ \lambda_{0}}{2} = 2k \frac{ \lambda_{0}}{2}$, или $2dn \cos \beta = (2k+1) \frac{ \lambda_{0}}{2}$. (3)
Из выражения (3) найдем толщину самой тонкой пленки $d$:
$d = \frac{(2k+1) \lambda_{0}}{4n \cos \beta} = \frac{(2k+1) \lambda_{0}}{4n \sqrt{1 - \sin^{2} \beta}} = \frac{(2k+1) \lambda_{0}}{ 4n \sqrt{1 - \sin^{2} \alpha / n^{2}}} = \frac{(2k+1) \lambda_{0}}{4 \sqrt{ n^{2} - \sin^{2} \alpha}}$. (4)
Толщину самой тонкой пленки $d_{min}$ можно определить при $k = 0$
$d_{min} = \frac{ \lambda_{0}}{4} \frac{1}{ \sqrt{n^{2} - \sin^{2} \alpha}} \approx 10^{-7} м$.
Минимальная масса пленки равна
$m_{min} = abd_{min} \rho = 6 \cdot 10^{-8} кг = 0,06 мг < 0,1 мг$,
следовательно, массу этой пленки измерить на наших весах нельзя.
2) При нормальном падении и отражении света ($\alpha=0$) выражение (4) запишем в виде
$d = \frac{2k+1}{n} \frac{ \lambda}{4}$. (5)
При $k = 0$
$d_{min} = \frac{ \lambda}{4n}$. (6)
Отсюда получаем, что длина волны $\lambda$ излучения, для которой выполняется условие интерференционного максимума для самой тонкой мыльной пленки, равна $\lambda = 4 nd_{min} \approx 5,32 \cdot 10^{-7} м$, что соответствует зеленому цвету. Значит, при освещении белым светом пленка будет казаться зеленой.
