Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2409
2017-03-18 
Отношение максимального и минимального объемов цилиндра четырехтактного двигателя равен 9,5. PV-диаграмма работы двигателя показана на рис. В двигатель поступает наружный воздух при температуре $t_{1} = 27^{ \circ} С$ и давлении $P_{1} = 10^{5} Па$. В момент зажигания горючей смеси давление в цилиндре возрастает в два раза.
а) Какие процессы происходят с газом между точками 0-1,2—3, 4—1 и 1—0? Процессы 1—2 и 3—4 — адиабатические ($\gamma = 1,4$).
б) Определите параметры P и Т газа в точках 1, 2, 3 и 4.
в) Вычислите к.п.д. цикла теплового двигателя.
г) Оцените реальность полученных результатов.
Решение:
а) Участок 0—1 характеризует изобарное всасывание смеси, 1—2—ее адиабатическое сжатие, 2—3—изохорное увеличение давления при зажигании смеси, 3—4—адиабатическое расширение—«рабочий ход», 4—1—изохорный выпуск газов, 1—0 — изобарное удаление смеси из цилиндра.
б) $T_{1} = T_{0}= 300 К, P_{1} = P_{0} = 10^{5} Па$.
Так как процесс 1—2 адиабатический, воспользуемся уравнением Пуассона:
$P_{1}V_{2}^{ \gamma} = P_{2}V_{1}^{ \gamma}$, (1)
$P_{2} = P_{1}(V_{2}/V_{1})^{ \gamma} = P_{1} \epsilon^{ \gamma} = 2,34 МПа$, (2)
где $\epsilon$ — степень сжатия: $\epsilon = V_{2}/V_{1}$.
Из уравнения Клапейрона
$\frac{P_{1}V_{2}}{T_{1}} = \frac{P_{2}V_{1}}{T_{2}}$
получим
$T_{2} = T_{1} \frac{P_{2}}{P_{1}} \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{T_{1}}{ \epsilon} \frac{P_{2}}{P_{1}}$.
С учетом (2) находим
$T_{2} = T_{1} \epsilon^{ \gamma - 1} = 740 К$.
По условию при зажигании свечи давление возрастает в 2 раза, т. е.
$P_{3} = 2P_{2} = 4,68 МПа$.
Для изохорного процесса 2—3 имеем
$\frac{P_{3}}{P_{2}} = \frac{T_{3}}{T_{2}}, T_{3} = T_{2} \frac{P_{3}}{P_{2}} = 2T_{2} = 1480 К$.
Процесс 3—4 адиабатический, поэтому записываем
$P_{3} V_{1}^{ \gamma} = P_{4} V_{2}^{ \gamma}$,
$P_{4} = P_{3} (V_{1}/V_{2})^{ \gamma} = P_{3} \epsilon^{- \gamma} = 0,2 МПа$.
Из уравнения Клапейрона $\frac{P_{3}V_{1}}{T_{3}} = \frac{P_{4}V_{2}}{T_{4}}$ получим
$T_{4} = T_{3} \frac{P_{4}}{P_{3}} \frac{V_{2}}{V_{1}} = T_{3} \epsilon^{ 1 - \gamma} = 600 К$.
Процесс 4—1 изохорный, поэтому
$\frac{P_{4}}{P_{1}} = \frac{T_{4}}{T_{1}^{ \prime}}, T_{1}^{ \prime} = T_{4} \frac{P_{1}}{P_{4}} = 300 K$.
Как и следовало ожидать, $T_{1}^{ \prime} = T_{1}$.
в) К.п.д. цикла теплового двигателя по определению равен
$\eta = \frac{A_{п}}{Q_{1}} = \frac{Q_{1} - Q_{2}}{Q_{1}}$,
где $A_{п}$ — полезная работа, совершенная двигателем за цикл, $Q_{1}$ — количество теплоты, подведенное от нагревателя, $Q_{2}$ — количество теплоты, отданное холодильнику. Так как процессы 1-2 и 3-4 происходят без теплообмена, то подвод и отвод тепла осуществляется только на участках 2—3 и 4—1:
$Q_{1} =c_{V}m(T_{3} - T_{2}), Q_{2} = c_{V} m(T_{4} - T_{1})$,
где $c_{V}$ — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме,
$\eta = \frac{c_{V}m [(T_{3} - T_{2})-(T_{4}-T_{1})]}{c_{V}m(T_{3}-T_{2})} = 1 - \frac{T_{4}-T_{1}}{T_{3}-T_{2}} = 1 - \frac{T_{1}}{T_{2}} = 1 - \frac{1}{ \epsilon^{ \gamma - 1}} \approx 0,6$.
г) Полученные в результате идеализации значения максимального давления $P_{3} = 4,68 МПа$ и к.п.д. $\eta \approx 60%$ превышают значения максимального давления $P_{0}$ и к.п.д. реальных карбюраторных двигателей внутреннего сгорания.
Отношение максимального и минимального объемов цилиндра четырехтактного двигателя равен 9,5. PV-диаграмма работы двигателя показана на рис. В двигатель поступает наружный воздух при температуре $t_{1} = 27^{ \circ} С$ и давлении $P_{1} = 10^{5} Па$. В момент зажигания горючей смеси давление в цилиндре возрастает в два раза.
а) Какие процессы происходят с газом между точками 0-1,2—3, 4—1 и 1—0? Процессы 1—2 и 3—4 — адиабатические ($\gamma = 1,4$).
б) Определите параметры P и Т газа в точках 1, 2, 3 и 4.
в) Вычислите к.п.д. цикла теплового двигателя.
г) Оцените реальность полученных результатов.
Решение:
а) Участок 0—1 характеризует изобарное всасывание смеси, 1—2—ее адиабатическое сжатие, 2—3—изохорное увеличение давления при зажигании смеси, 3—4—адиабатическое расширение—«рабочий ход», 4—1—изохорный выпуск газов, 1—0 — изобарное удаление смеси из цилиндра.
б) $T_{1} = T_{0}= 300 К, P_{1} = P_{0} = 10^{5} Па$.
Так как процесс 1—2 адиабатический, воспользуемся уравнением Пуассона:
$P_{1}V_{2}^{ \gamma} = P_{2}V_{1}^{ \gamma}$, (1)
$P_{2} = P_{1}(V_{2}/V_{1})^{ \gamma} = P_{1} \epsilon^{ \gamma} = 2,34 МПа$, (2)
где $\epsilon$ — степень сжатия: $\epsilon = V_{2}/V_{1}$.
Из уравнения Клапейрона
$\frac{P_{1}V_{2}}{T_{1}} = \frac{P_{2}V_{1}}{T_{2}}$
получим
$T_{2} = T_{1} \frac{P_{2}}{P_{1}} \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{T_{1}}{ \epsilon} \frac{P_{2}}{P_{1}}$.
С учетом (2) находим
$T_{2} = T_{1} \epsilon^{ \gamma - 1} = 740 К$.
По условию при зажигании свечи давление возрастает в 2 раза, т. е.
$P_{3} = 2P_{2} = 4,68 МПа$.
Для изохорного процесса 2—3 имеем
$\frac{P_{3}}{P_{2}} = \frac{T_{3}}{T_{2}}, T_{3} = T_{2} \frac{P_{3}}{P_{2}} = 2T_{2} = 1480 К$.
Процесс 3—4 адиабатический, поэтому записываем
$P_{3} V_{1}^{ \gamma} = P_{4} V_{2}^{ \gamma}$,
$P_{4} = P_{3} (V_{1}/V_{2})^{ \gamma} = P_{3} \epsilon^{- \gamma} = 0,2 МПа$.
Из уравнения Клапейрона $\frac{P_{3}V_{1}}{T_{3}} = \frac{P_{4}V_{2}}{T_{4}}$ получим
$T_{4} = T_{3} \frac{P_{4}}{P_{3}} \frac{V_{2}}{V_{1}} = T_{3} \epsilon^{ 1 - \gamma} = 600 К$.
Процесс 4—1 изохорный, поэтому
$\frac{P_{4}}{P_{1}} = \frac{T_{4}}{T_{1}^{ \prime}}, T_{1}^{ \prime} = T_{4} \frac{P_{1}}{P_{4}} = 300 K$.
Как и следовало ожидать, $T_{1}^{ \prime} = T_{1}$.
в) К.п.д. цикла теплового двигателя по определению равен
$\eta = \frac{A_{п}}{Q_{1}} = \frac{Q_{1} - Q_{2}}{Q_{1}}$,
где $A_{п}$ — полезная работа, совершенная двигателем за цикл, $Q_{1}$ — количество теплоты, подведенное от нагревателя, $Q_{2}$ — количество теплоты, отданное холодильнику. Так как процессы 1-2 и 3-4 происходят без теплообмена, то подвод и отвод тепла осуществляется только на участках 2—3 и 4—1:
$Q_{1} =c_{V}m(T_{3} - T_{2}), Q_{2} = c_{V} m(T_{4} - T_{1})$,
где $c_{V}$ — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме,
$\eta = \frac{c_{V}m [(T_{3} - T_{2})-(T_{4}-T_{1})]}{c_{V}m(T_{3}-T_{2})} = 1 - \frac{T_{4}-T_{1}}{T_{3}-T_{2}} = 1 - \frac{T_{1}}{T_{2}} = 1 - \frac{1}{ \epsilon^{ \gamma - 1}} \approx 0,6$.
г) Полученные в результате идеализации значения максимального давления $P_{3} = 4,68 МПа$ и к.п.д. $\eta \approx 60%$ превышают значения максимального давления $P_{0}$ и к.п.д. реальных карбюраторных двигателей внутреннего сгорания.
