Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2407
2017-03-18 
Стенки цилиндра, поршень и внутренняя перегородка площадью $1 дм^{2}$ изготовлены из теплоизоляционного материала (рис.). Клапан в перегородке открывается в том случае, если давление справа больше давления слева. В начальном состоянии в левой части цилиндра длиной $l_{0} = 11,2 дм$ находится 12 г гелия, в правой части, имеющей ту же длину,— 2 г гелия, с обеих сторон температура газа равна $0^{ \circ} С$. Внешнее давление $10^{5} Па$. Удельная теплоемкость гелия при постоянном объеме $c_{V} = 3,15 \cdot 10^{3} Дж/(кг \cdot К)$, а при постоянном давлении $c_{p} = 5,25 \cdot 10^{8} Дж/(кг \cdot К)$.
Медленно передвигаем поршень по направлению к перегородке (с небольшой остановкой в момент открытия клапана) и осторожно доводим поршень до перегородки. Чему равна произведенная нами работа?
Решение:
Для теплоизолированной системы первый закон термодинамики можно записать в виде
$A = \delta U$. (1)
Полная работа $A$ совершается над газом силой, которой мы действовали на поршень, и силой атмосферного давления:
$A = A_{1} + P_{0}Sl_{0}$. (2)
Изменение внутренней энергии гелия определяется как
$\Delta U = c_{V}(m_{1} + m_{2})(T - T_{0})$, (3)
где $c_{V}$ — удельная теплоемкость гелия при постоянном объеме, $T$ - конечная температура газа.
Из выражений (1)—(3) получаем формулу для расчета искомой работы $A_{1}$:
$A_{1} = c_{V}(m_{1} + m_{2})(T - T_{0}) - P_{0} Sl_{0}$, (4)
в которой неизвестна лишь конечная температура $T$.
Для ее нахождения рассмотрим последовательно все этапы процесса сжатия гелия.
Начальные значения давления гелия в левой и правой частях цилиндра (рис.) определим из уравнения Менделеева — Клапейрона:
$P_{01} = \frac{m_{mRT_{0}}}{V_{0}M}, P_{02} = \frac{m_{2}RT_{0}}{V_{0}M}$. (5)
Так как $m_{1} > m_{2}$, то $P_{01} > P_{02}$.
При движении поршня к перегородке газ в правой части будет сжиматься до тех пор, пока его давление не станет равным $P_{01}$. В этот момент открывается клапан.
Так как сосуд с газом теплоизолирован, то процесс в нем будет адиабатическим и описывается уравнением Пуассона: $PV^{ \gamma} = const$, где $\gamma = c_{p}/c_{V}$.
Запишем уравнение Пуассона для гелия в правой части цилиндра:
$P_{01}V_{1}^{ \gamma} = P_{02}V_{0}^{ \gamma}$,
где $V_{1}$ - объем газа в правой части цилиндра в момент открывания клапана:
$V_{1} = V_{0} (P_{02}/P_{01})^{1/ \gamma}$. (6)
Подставляя значения $P_{01}$ и $P_{02}$ в выражение (6), найдем
$V_{1} = V_{0}( m_{2} / m_{1})^{1 / \gamma}$; (7)
$V_{1} \approx 0,34 V_{0}$.
Температуру $T_{1}$, которую будет иметь газ в правой части цилиндра в момент открытия клапана, найдем из уравнения Клапейрона:
$\frac{P_{01}V_{1}}{T_{1}} = \frac{P_{02}V_{0}}{T_{0}}$,
откуда
$T_{1} = T_{0} \frac{P_{01}}{P_{02}} \frac{V_{1}}{V_{2}}$. (8)
С учетом выражений (5) и (7) получим:
$T_{1} = T_{0} \frac{m_{1}}{m_{2}} \left ( \frac{m_{2}}{m_{1}} \right )^{ 1 / \gamma} = T_{0} \left ( \frac{m_{2}}{m_{1}} \right )^{ 1/ \gamma - 1} \approx 2,05 T_{0}$.
После открывания клапана газы перемешиваются и происходит теплообмен при постоянном объеме. Из уравнения теплового баланса
$c_{V}m_{1} ( \theta - T_{0}) = c_{V} m_{2} (T_{1} - \theta)$
находим
$\theta = \frac{m_{1}T_{0} + m_{2}T_{1}}{m_{1} + m_{2}} \approx 1,15 T_{0}$.
После перемешивания весь газ массой $m=m_{1} + m_{2}$ сжимается адиабатически от объема $V_{1} + V_{0}$ до объема $V_{0}$, а его температура увеличивается от $\theta$ до $T$ в соответствии с уравнением Пуассона:
$PV^{ \gamma} = const \Rightarrow TV^{ \gamma - 1} = const$,
$TV_{0}^{ \gamma - 1} = \theta (V_{1} + V_{0})^{ \gamma -1}$,
$T = \theta \left ( \frac{V_{1} + V_{0}}{V_{0}} \right )^{ \gamma - 1} = \theta \left ( 1 + \frac{V_{1}}{V_{0}} \right )^{ \gamma - 1} \approx 1,4 T_{0}$.
Подставляя значение конечной температуры $T$ смеси газов в выражение (4), найдем искомую работу, совершенную при сжатии:
$A_{1} = 4816 Дж - 1120 Дж = 3696 Дж \approx 3,7 кДж$.
Стенки цилиндра, поршень и внутренняя перегородка площадью $1 дм^{2}$ изготовлены из теплоизоляционного материала (рис.). Клапан в перегородке открывается в том случае, если давление справа больше давления слева. В начальном состоянии в левой части цилиндра длиной $l_{0} = 11,2 дм$ находится 12 г гелия, в правой части, имеющей ту же длину,— 2 г гелия, с обеих сторон температура газа равна $0^{ \circ} С$. Внешнее давление $10^{5} Па$. Удельная теплоемкость гелия при постоянном объеме $c_{V} = 3,15 \cdot 10^{3} Дж/(кг \cdot К)$, а при постоянном давлении $c_{p} = 5,25 \cdot 10^{8} Дж/(кг \cdot К)$.
Медленно передвигаем поршень по направлению к перегородке (с небольшой остановкой в момент открытия клапана) и осторожно доводим поршень до перегородки. Чему равна произведенная нами работа?
Решение:
Для теплоизолированной системы первый закон термодинамики можно записать в виде
$A = \delta U$. (1)
Полная работа $A$ совершается над газом силой, которой мы действовали на поршень, и силой атмосферного давления:
$A = A_{1} + P_{0}Sl_{0}$. (2)
Изменение внутренней энергии гелия определяется как
$\Delta U = c_{V}(m_{1} + m_{2})(T - T_{0})$, (3)
где $c_{V}$ — удельная теплоемкость гелия при постоянном объеме, $T$ - конечная температура газа.
Из выражений (1)—(3) получаем формулу для расчета искомой работы $A_{1}$:
$A_{1} = c_{V}(m_{1} + m_{2})(T - T_{0}) - P_{0} Sl_{0}$, (4)
в которой неизвестна лишь конечная температура $T$.
Для ее нахождения рассмотрим последовательно все этапы процесса сжатия гелия.
Начальные значения давления гелия в левой и правой частях цилиндра (рис.) определим из уравнения Менделеева — Клапейрона:
$P_{01} = \frac{m_{mRT_{0}}}{V_{0}M}, P_{02} = \frac{m_{2}RT_{0}}{V_{0}M}$. (5)
Так как $m_{1} > m_{2}$, то $P_{01} > P_{02}$.
При движении поршня к перегородке газ в правой части будет сжиматься до тех пор, пока его давление не станет равным $P_{01}$. В этот момент открывается клапан.
Так как сосуд с газом теплоизолирован, то процесс в нем будет адиабатическим и описывается уравнением Пуассона: $PV^{ \gamma} = const$, где $\gamma = c_{p}/c_{V}$.
Запишем уравнение Пуассона для гелия в правой части цилиндра:
$P_{01}V_{1}^{ \gamma} = P_{02}V_{0}^{ \gamma}$,
где $V_{1}$ - объем газа в правой части цилиндра в момент открывания клапана:
$V_{1} = V_{0} (P_{02}/P_{01})^{1/ \gamma}$. (6)
Подставляя значения $P_{01}$ и $P_{02}$ в выражение (6), найдем
$V_{1} = V_{0}( m_{2} / m_{1})^{1 / \gamma}$; (7)
$V_{1} \approx 0,34 V_{0}$.
Температуру $T_{1}$, которую будет иметь газ в правой части цилиндра в момент открытия клапана, найдем из уравнения Клапейрона:
$\frac{P_{01}V_{1}}{T_{1}} = \frac{P_{02}V_{0}}{T_{0}}$,
откуда
$T_{1} = T_{0} \frac{P_{01}}{P_{02}} \frac{V_{1}}{V_{2}}$. (8)
С учетом выражений (5) и (7) получим:
$T_{1} = T_{0} \frac{m_{1}}{m_{2}} \left ( \frac{m_{2}}{m_{1}} \right )^{ 1 / \gamma} = T_{0} \left ( \frac{m_{2}}{m_{1}} \right )^{ 1/ \gamma - 1} \approx 2,05 T_{0}$.
После открывания клапана газы перемешиваются и происходит теплообмен при постоянном объеме. Из уравнения теплового баланса
$c_{V}m_{1} ( \theta - T_{0}) = c_{V} m_{2} (T_{1} - \theta)$
находим
$\theta = \frac{m_{1}T_{0} + m_{2}T_{1}}{m_{1} + m_{2}} \approx 1,15 T_{0}$.
После перемешивания весь газ массой $m=m_{1} + m_{2}$ сжимается адиабатически от объема $V_{1} + V_{0}$ до объема $V_{0}$, а его температура увеличивается от $\theta$ до $T$ в соответствии с уравнением Пуассона:
$PV^{ \gamma} = const \Rightarrow TV^{ \gamma - 1} = const$,
$TV_{0}^{ \gamma - 1} = \theta (V_{1} + V_{0})^{ \gamma -1}$,
$T = \theta \left ( \frac{V_{1} + V_{0}}{V_{0}} \right )^{ \gamma - 1} = \theta \left ( 1 + \frac{V_{1}}{V_{0}} \right )^{ \gamma - 1} \approx 1,4 T_{0}$.
Подставляя значение конечной температуры $T$ смеси газов в выражение (4), найдем искомую работу, совершенную при сжатии:
$A_{1} = 4816 Дж - 1120 Дж = 3696 Дж \approx 3,7 кДж$.
