Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2406
2017-03-18 
Сфера радиуса $R=0,5 м$ вращается вокруг своего вертикального диаметра с постоянной угловой скоростью $\omega = 5 рад/с$ (рис.). Вместе со сферой на ее внутренней поверхности вращается небольшое тело, находящееся на высоте, равной половине радиуса.
1) Определите минимальное значение коэффициента трения, при котором это состояние возможно.
2) Найти минимальное значение коэффициента трения, если угловая скорость сферы равна $\omega = 8 рад/с$.
3) Исследуйте устойчивость состояний при найденных значениях коэффициента трения при: а) малых изменениях угловой скорости сферы; б) малых изменениях положения тела.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
рис.4
рис.5
рис.6
рис.7
1—2) На рис. 1 показаны силы, действующие на тело: сила тяжести $m \vec{g}$, сила реакции со стороны сферы $\vec{N}$ и сила трения $\vec{F}_{тр}$ Сила трения перпендикулярна силе реакции, но направление ее nei известно: она может быть направлена так, как показано на рис.1 или в противоположную сторону.
Равнодействующая $\vec{F}_{R}$ этих трех сил
$\vec{F}_{R} = m \vec{G} + \vec{N} + \vec{F}_{тр}$
сообщает телу центростремительное ускорение
$a_{ц. с.} = \omega^{2} r = \omega^{2} R \sin \alpha$,
где $\alpha$ — угол между радиусом ОС и вертикалью.
Следовательно, вектор $\vec{F}_{R}$ направлен к оси вращения и перпендикулярен ей. Модуль этой силы равен
$F_{R} = m \omega^{2} R \sin \alpha$,
В зависимости от направления вектора силы трения $\vec{F}_{тр}$ модуль силы $F_{R}$ будет иметь разные значения, Это хорошо видно из рис. 2 и 3, (Аналогичный метод исследования был применен нами при решении задачи 2403)
Так как угол между векторами $m \vec{g}$ и $\vec{N}$ равен $\alpha$, получим
$F_{R} = mg tg (\alpha - \beta)$, (1)
если сила трения направлена так, как показано иа рис, 2.
Если сила трения направлена в противоположную сторону, то
$F_{R} = mg tg ( \alpha + \beta)$, (2)
где
$\beta = arctg \mu$.
Это ясно из соотношения
$tg \beta = F_{тр}/N = \mu N/N = \mu$.
Следовательно, для равновесия тела на сфере должно выполняться условие
$\mu \geq tg \beta$. (3)
Значение $tg \beta$ нетрудно найти из выражений (1) и (2). Учитывая, что
$tg ( \alpha \pm \beta) = \frac{tg \alpha \pm tg \beta}{ 1 + tg \alpha tg \beta}$,
получим
$tg \beta = \frac{|g tg \alpha - \omega^{2} R \sin \alpha|}{ g + tg \alpha \cdot \omega^{2} R \sin \alpha} = \frac{ \sin \alpha |g - \omega^{2} R \cos \alpha|}{ g \cos \alpha + \omega^{2} R \sin^{2} \alpha}$.
Минимальное значение $\mu$ равно
$\mu_{min} = \frac{ s\in \alpha |g - \omega^{2} R \cos \alpha|}{ g \cos \alpha + \omega^{2} R \sin^{2} \alpha}$. (4)
При условии $\omega = \omega_{1} = 5 рад/с$ выполняется неравенство
$g > \omega^{2} R \cos \alpha$, так как $10 > 25 \cdot 0,5 \cdot \cos 60^{ \circ}$,
тогда
$\mu_{1min} = \frac{ \sin \alpha( g - \omega^{2} R \cos \alpha)}{g \cos \alpha + \omega^{2} R \sin^{2} \alpha} = 0,23$. (5)
При условии $\omega = \omega^{2} = 8 рад/с$ выполняется неравенство
$g < \omega^{2} r \cos \alpha$, так как $10 < 64 \cdot 0,5 \cdot 0,5$,
тогда
$\mu_{2min} = \frac{ \sin \alpha ( \omega^{2} R \cos \alpha - g)}{g \cos \alpha + \omega^{2} R \sin^{2} \alpha} = 0,18$. (6)
Переход от $\mu_{1min}$ к $\mu_{2min}$ происходит при такой угловой скорости $\omega_{0}$, при которой $F_{тр} = 0$, а следовательно, $\beta = 0$ (рис. 4).
При этом, в соответствии со вторым законом Ньютона:
$m \omega_{0}^{2} R \sin \alpha = mg tg \alpha$,
угловая скорость $\omega_{0}$ вращения сферы равна
$\omega_{0} = \sqrt{ \frac{g}{R \cos \alpha}}; \omega_{0} = \sqrt{ \frac{10}{0,5 \cdot 0,5}} \approx 6,3 с^{-1}$.
Так как $\omega_{1} < \omega_{0}$, то $\mu_{1min}$ определяется выражением (5), а при $\omega_{2} > \omega_{0} \mu_{2min}$ определяется выражением (6).
3) а) При небольшом увеличении угловой скорости $\omega$ от значения $\omega_{1} = 5 рад/с$ равнодействующая всех сил $F_{R} = m \omega^{2} R \sin \alpha$ также возрастает.
Из рис. 5, а видно, что при этом модуль силы трения $F_{тр}^{ \prime}$ уменьшается, а модуль силы $N^{ \prime}$ реакции опоры возрастает. В результате минимальный коэффициент трения $\mu_{min}$, необходимый для удержания тела на сфере в положении, характеризуемом углом $\alpha$ уменьшается:
$\mu_{min} = | tg \beta|$, где $tg \beta = F_{тр}/N$,
Следовательно, при небольшом увеличении угловой скорости ($\omega > \omega_{1}$) тело сохранит свое первоначальное положение.
ри небольшом уменьшении угловой скорости ($\omega < \omega_{1}$) уменьшается $F_{R}^{ \prime \prime}$. Для удержания тела в положении равновесия необходима, как видно из рис. 5, а, большая сила трения при меньшей силе $N^{ \prime \prime}$, т. е. больший коэффициент трения. Это невозможно, так как
$\beta \leq arctg \mu_{max}$.
Поэтому тело опустится вниз и займет новое положение, при котором $ \beta = arctg \mu_{max}$. При $\omega = \omega_{2} = 8 рад/с$ реакция тела на малые изменения угловой скорости будет противоположной (это ясно из аналогичного анализа рис. 5, б).
б) В случае $\omega = \omega_{1} =5 рад/с$ сила трения направлена вверх, а следовательно, равновесное положение тела находится выше положения равновесия в отсутствие трения. Поэтому при небольшом смещении тела вниз оно останется в новом положении, а при смещении вверх — вернется в прежнее положение.
В случае $\omega = \omega_{2} =8 рад/с$ сила трения направлена вниз, поэтому реакция тела на малые изменения положения тела (угла $\alpha$) будет противоположна.
Примечание. Ответ на 3-й вопрос задачи можно получить чисто формальным путем, построив график функции
$\mu( \alpha)_{min} = \frac{ \sin \alpha |g - \omega^{2} R \cos \alpha|}{g \cos \alpha + \omega^{2} R \sin^{2} \alpha}$
и проанализировав изменение этого графика при изменениях $\omega$ или $\alpha$. На рис. 6 представлен график этой зависимости при $\omega_{1} = 5 рад/с$ (кривая 1). Кривая 2 соответствует случаю $|omega > \omega_{1}$, кривая 3 — случаю $\omega < \omega_{1}$. Из рис. 6 видно, что при незначительном увеличении угловой скорости ($\omega > \omega_{1}$) минимальный коэффициент трения, необходимый для удержания тела на сфере в положении, характеризуемом углом $\alpha = 60^{ \circ}$, уменьшается. А так как тело до изменения угловой скорости имело больший коэффициент трения, то оно сохранит свое первоначальное положение.
При уменьшении угловой скорости ($ \omega < \omega_{0}$) минимальный коэффициент трения, необходимый для удержания тела в положении, характеризуемом углом $\alpha_{0} = 60^{ \circ}$, будет больше, чем тот, который был до измен ния угловой скорости, поэтому тело опустится вниз.
На рис. 7 приведен график $\mu( \alpha )_{min}$ Для $\omega_{2} = 8 рад/с$ (кривая При незначительном увеличении угловой скорости ($\omega > \omega_{2}$) минимальный коэффициент трения, необходимый для удержания тела в положении, характеризуемом углом $\alpha_{0} = 60^{ \circ}$, возрастает (кривая 2) и становится больше имеющегося, поэтому тело не сможет остаться в прежнем положении и поднимется.
При незначительном уменьшении угловой скорости ($\omega < \omega_{2}$) минимальный коэффициент трения, необходимый для удержания тела в положении, характеризуемом углом $\alpha_{0} = 60^{ \circ}$, уменьшается (кривая 3), поэтому тело сохраняет свое прежнее положение.
Сфера радиуса $R=0,5 м$ вращается вокруг своего вертикального диаметра с постоянной угловой скоростью $\omega = 5 рад/с$ (рис.). Вместе со сферой на ее внутренней поверхности вращается небольшое тело, находящееся на высоте, равной половине радиуса.
1) Определите минимальное значение коэффициента трения, при котором это состояние возможно.
2) Найти минимальное значение коэффициента трения, если угловая скорость сферы равна $\omega = 8 рад/с$.
3) Исследуйте устойчивость состояний при найденных значениях коэффициента трения при: а) малых изменениях угловой скорости сферы; б) малых изменениях положения тела.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
рис.4
рис.5
рис.6
рис.7
1—2) На рис. 1 показаны силы, действующие на тело: сила тяжести $m \vec{g}$, сила реакции со стороны сферы $\vec{N}$ и сила трения $\vec{F}_{тр}$ Сила трения перпендикулярна силе реакции, но направление ее nei известно: она может быть направлена так, как показано на рис.1 или в противоположную сторону.
Равнодействующая $\vec{F}_{R}$ этих трех сил
$\vec{F}_{R} = m \vec{G} + \vec{N} + \vec{F}_{тр}$
сообщает телу центростремительное ускорение
$a_{ц. с.} = \omega^{2} r = \omega^{2} R \sin \alpha$,
где $\alpha$ — угол между радиусом ОС и вертикалью.
Следовательно, вектор $\vec{F}_{R}$ направлен к оси вращения и перпендикулярен ей. Модуль этой силы равен
$F_{R} = m \omega^{2} R \sin \alpha$,
В зависимости от направления вектора силы трения $\vec{F}_{тр}$ модуль силы $F_{R}$ будет иметь разные значения, Это хорошо видно из рис. 2 и 3, (Аналогичный метод исследования был применен нами при решении задачи 2403)
Так как угол между векторами $m \vec{g}$ и $\vec{N}$ равен $\alpha$, получим
$F_{R} = mg tg (\alpha - \beta)$, (1)
если сила трения направлена так, как показано иа рис, 2.
Если сила трения направлена в противоположную сторону, то
$F_{R} = mg tg ( \alpha + \beta)$, (2)
где
$\beta = arctg \mu$.
Это ясно из соотношения
$tg \beta = F_{тр}/N = \mu N/N = \mu$.
Следовательно, для равновесия тела на сфере должно выполняться условие
$\mu \geq tg \beta$. (3)
Значение $tg \beta$ нетрудно найти из выражений (1) и (2). Учитывая, что
$tg ( \alpha \pm \beta) = \frac{tg \alpha \pm tg \beta}{ 1 + tg \alpha tg \beta}$,
получим
$tg \beta = \frac{|g tg \alpha - \omega^{2} R \sin \alpha|}{ g + tg \alpha \cdot \omega^{2} R \sin \alpha} = \frac{ \sin \alpha |g - \omega^{2} R \cos \alpha|}{ g \cos \alpha + \omega^{2} R \sin^{2} \alpha}$.
Минимальное значение $\mu$ равно
$\mu_{min} = \frac{ s\in \alpha |g - \omega^{2} R \cos \alpha|}{ g \cos \alpha + \omega^{2} R \sin^{2} \alpha}$. (4)
При условии $\omega = \omega_{1} = 5 рад/с$ выполняется неравенство
$g > \omega^{2} R \cos \alpha$, так как $10 > 25 \cdot 0,5 \cdot \cos 60^{ \circ}$,
тогда
$\mu_{1min} = \frac{ \sin \alpha( g - \omega^{2} R \cos \alpha)}{g \cos \alpha + \omega^{2} R \sin^{2} \alpha} = 0,23$. (5)
При условии $\omega = \omega^{2} = 8 рад/с$ выполняется неравенство
$g < \omega^{2} r \cos \alpha$, так как $10 < 64 \cdot 0,5 \cdot 0,5$,
тогда
$\mu_{2min} = \frac{ \sin \alpha ( \omega^{2} R \cos \alpha - g)}{g \cos \alpha + \omega^{2} R \sin^{2} \alpha} = 0,18$. (6)
Переход от $\mu_{1min}$ к $\mu_{2min}$ происходит при такой угловой скорости $\omega_{0}$, при которой $F_{тр} = 0$, а следовательно, $\beta = 0$ (рис. 4).
При этом, в соответствии со вторым законом Ньютона:
$m \omega_{0}^{2} R \sin \alpha = mg tg \alpha$,
угловая скорость $\omega_{0}$ вращения сферы равна
$\omega_{0} = \sqrt{ \frac{g}{R \cos \alpha}}; \omega_{0} = \sqrt{ \frac{10}{0,5 \cdot 0,5}} \approx 6,3 с^{-1}$.
Так как $\omega_{1} < \omega_{0}$, то $\mu_{1min}$ определяется выражением (5), а при $\omega_{2} > \omega_{0} \mu_{2min}$ определяется выражением (6).
3) а) При небольшом увеличении угловой скорости $\omega$ от значения $\omega_{1} = 5 рад/с$ равнодействующая всех сил $F_{R} = m \omega^{2} R \sin \alpha$ также возрастает.
Из рис. 5, а видно, что при этом модуль силы трения $F_{тр}^{ \prime}$ уменьшается, а модуль силы $N^{ \prime}$ реакции опоры возрастает. В результате минимальный коэффициент трения $\mu_{min}$, необходимый для удержания тела на сфере в положении, характеризуемом углом $\alpha$ уменьшается:
$\mu_{min} = | tg \beta|$, где $tg \beta = F_{тр}/N$,
Следовательно, при небольшом увеличении угловой скорости ($\omega > \omega_{1}$) тело сохранит свое первоначальное положение.
ри небольшом уменьшении угловой скорости ($\omega < \omega_{1}$) уменьшается $F_{R}^{ \prime \prime}$. Для удержания тела в положении равновесия необходима, как видно из рис. 5, а, большая сила трения при меньшей силе $N^{ \prime \prime}$, т. е. больший коэффициент трения. Это невозможно, так как
$\beta \leq arctg \mu_{max}$.
Поэтому тело опустится вниз и займет новое положение, при котором $ \beta = arctg \mu_{max}$. При $\omega = \omega_{2} = 8 рад/с$ реакция тела на малые изменения угловой скорости будет противоположной (это ясно из аналогичного анализа рис. 5, б).
б) В случае $\omega = \omega_{1} =5 рад/с$ сила трения направлена вверх, а следовательно, равновесное положение тела находится выше положения равновесия в отсутствие трения. Поэтому при небольшом смещении тела вниз оно останется в новом положении, а при смещении вверх — вернется в прежнее положение.
В случае $\omega = \omega_{2} =8 рад/с$ сила трения направлена вниз, поэтому реакция тела на малые изменения положения тела (угла $\alpha$) будет противоположна.
Примечание. Ответ на 3-й вопрос задачи можно получить чисто формальным путем, построив график функции
$\mu( \alpha)_{min} = \frac{ \sin \alpha |g - \omega^{2} R \cos \alpha|}{g \cos \alpha + \omega^{2} R \sin^{2} \alpha}$
и проанализировав изменение этого графика при изменениях $\omega$ или $\alpha$. На рис. 6 представлен график этой зависимости при $\omega_{1} = 5 рад/с$ (кривая 1). Кривая 2 соответствует случаю $|omega > \omega_{1}$, кривая 3 — случаю $\omega < \omega_{1}$. Из рис. 6 видно, что при незначительном увеличении угловой скорости ($\omega > \omega_{1}$) минимальный коэффициент трения, необходимый для удержания тела на сфере в положении, характеризуемом углом $\alpha = 60^{ \circ}$, уменьшается. А так как тело до изменения угловой скорости имело больший коэффициент трения, то оно сохранит свое первоначальное положение.
При уменьшении угловой скорости ($ \omega < \omega_{0}$) минимальный коэффициент трения, необходимый для удержания тела в положении, характеризуемом углом $\alpha_{0} = 60^{ \circ}$, будет больше, чем тот, который был до измен ния угловой скорости, поэтому тело опустится вниз.
На рис. 7 приведен график $\mu( \alpha )_{min}$ Для $\omega_{2} = 8 рад/с$ (кривая При незначительном увеличении угловой скорости ($\omega > \omega_{2}$) минимальный коэффициент трения, необходимый для удержания тела в положении, характеризуемом углом $\alpha_{0} = 60^{ \circ}$, возрастает (кривая 2) и становится больше имеющегося, поэтому тело не сможет остаться в прежнем положении и поднимется.
При незначительном уменьшении угловой скорости ($\omega < \omega_{2}$) минимальный коэффициент трения, необходимый для удержания тела в положении, характеризуемом углом $\alpha_{0} = 60^{ \circ}$, уменьшается (кривая 3), поэтому тело сохраняет свое прежнее положение.
