Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2405
2017-03-18 
Из точки $Q$ в одной плоскости испускается пучок положительных однозарядных ионов (заряд $+e$) одинаковой и постоянной массы $m$. Ионы, ускоренные напряжением $U$, отклоняются однородным магнитным полем, которое направлено перпендикулярно к плоскости распространения ионов. Индукция магнитного поля равна $\vec{B}$. Границы магнитного поля должны быть такими, чтобы пучок ионов сходился в одной точке $A (QA=2a)$. Траектории ионов должны быть симметричными относительно линии, перпендикулярной к отрезку QA и проходящей через его середину. Из возможных границ магнитного поля следует выбрать такие, которые находились бы в окрестностях линии, перпендикулярной к середине отрезка QA, но не захватывали точек Q и А. Область должна быть односвязной, т. е. без дыр и разрывов.
а) Выразите радиус кривизны $R$ траекторий частиц в магнитном поле как функцию напряжения $U$ и индукции $B$.
б) Укажите характерные свойства траекторий частиц в описанной установке.
в) Найдите границы магнитного поля путем геометрического построения для случаев: $R < a, R=a$ и $R > a$.
г) Найдите математическое выражение для границы магнитного поля.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
рис.4
а) Изменение кинетической энергии положительных ионов происходит вследствие совершения работы силами электростатического поля:
$A = \Delta E_{к}$,
$eU = mv^{2}/2, v = \sqrt{2eU/m}$. (1)
На ион в магнитном поле действует сила Лоренца: $F = evB$. Эта сила сообщает иону центростремительное ускорение. Применив второй закон Ньютона можно записать следующее равенство:
$evB = mv^{2} /R \Rightarrow R = nv/eB$, (2)
где $R$ — радиус окружности, по которой движется ион в поперечном магнитном поле.
Подставив выражение (1) в (2), получим
$R = \frac{1}{B} \sqrt{ \frac{2mU}{e}}$.
б) Ионы движутся по прямым до пересечения с областью магнитного поля, в магнитном поле их траектории искривляются и становятся дугами окружностей. После выхода из магнитного поля ионы снова движутся по прямым (рис. 1). Ясно, что прямые являются касательными к дугам окружностей, и следовательно, радиусы, проведенные к границе магнитного поля, перпендикулярны к этим прямым.
Так как траектории иоиов должны быть симметричными относительно перпендикуляра $OO^{ \prime}$, проходящего через середину отрезка $QA$, то траектории ионов пересекают прямую $OO^{ \prime}$ под прямым углом, причем центры окружностей лежат на этой прямой.
в) В зависимости от соотношения между $R$ и $a$ границы магнитного поля будут иметь различный вид, представленный на рисунках:
1) для случая $R < a$ — на рис. 1;
2) для случая $R = a$ — на рис. 2;
3) для случая $R > a$ — на рис. 3.
г) На рис. 4 показана одна из траекторий иона. Точка $P(x, y)$ принадлежит границе магнитного поля. Обозначим $\alpha$ — угол между осью OY и радиусом, проведенным в точку $P$. Так как радиус перпендикулярен касательной АР, то угол $\hat{A}$ тоже равен $\alpha$ (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами). Из рис. 4 видно, что
$x = R \sin \alpha$,
$y = (a - x) tg \alpha$.
Отсюда, исключая $\alpha$, получим уравнение границы поля:
$y = \frac{(a - x)x}{ \sqrt{R^{2} - x^{2}}}$.
Из точки $Q$ в одной плоскости испускается пучок положительных однозарядных ионов (заряд $+e$) одинаковой и постоянной массы $m$. Ионы, ускоренные напряжением $U$, отклоняются однородным магнитным полем, которое направлено перпендикулярно к плоскости распространения ионов. Индукция магнитного поля равна $\vec{B}$. Границы магнитного поля должны быть такими, чтобы пучок ионов сходился в одной точке $A (QA=2a)$. Траектории ионов должны быть симметричными относительно линии, перпендикулярной к отрезку QA и проходящей через его середину. Из возможных границ магнитного поля следует выбрать такие, которые находились бы в окрестностях линии, перпендикулярной к середине отрезка QA, но не захватывали точек Q и А. Область должна быть односвязной, т. е. без дыр и разрывов.
а) Выразите радиус кривизны $R$ траекторий частиц в магнитном поле как функцию напряжения $U$ и индукции $B$.
б) Укажите характерные свойства траекторий частиц в описанной установке.
в) Найдите границы магнитного поля путем геометрического построения для случаев: $R < a, R=a$ и $R > a$.
г) Найдите математическое выражение для границы магнитного поля.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
рис.4
а) Изменение кинетической энергии положительных ионов происходит вследствие совершения работы силами электростатического поля:
$A = \Delta E_{к}$,
$eU = mv^{2}/2, v = \sqrt{2eU/m}$. (1)
На ион в магнитном поле действует сила Лоренца: $F = evB$. Эта сила сообщает иону центростремительное ускорение. Применив второй закон Ньютона можно записать следующее равенство:
$evB = mv^{2} /R \Rightarrow R = nv/eB$, (2)
где $R$ — радиус окружности, по которой движется ион в поперечном магнитном поле.
Подставив выражение (1) в (2), получим
$R = \frac{1}{B} \sqrt{ \frac{2mU}{e}}$.
б) Ионы движутся по прямым до пересечения с областью магнитного поля, в магнитном поле их траектории искривляются и становятся дугами окружностей. После выхода из магнитного поля ионы снова движутся по прямым (рис. 1). Ясно, что прямые являются касательными к дугам окружностей, и следовательно, радиусы, проведенные к границе магнитного поля, перпендикулярны к этим прямым.
Так как траектории иоиов должны быть симметричными относительно перпендикуляра $OO^{ \prime}$, проходящего через середину отрезка $QA$, то траектории ионов пересекают прямую $OO^{ \prime}$ под прямым углом, причем центры окружностей лежат на этой прямой.
в) В зависимости от соотношения между $R$ и $a$ границы магнитного поля будут иметь различный вид, представленный на рисунках:
1) для случая $R < a$ — на рис. 1;
2) для случая $R = a$ — на рис. 2;
3) для случая $R > a$ — на рис. 3.
г) На рис. 4 показана одна из траекторий иона. Точка $P(x, y)$ принадлежит границе магнитного поля. Обозначим $\alpha$ — угол между осью OY и радиусом, проведенным в точку $P$. Так как радиус перпендикулярен касательной АР, то угол $\hat{A}$ тоже равен $\alpha$ (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами). Из рис. 4 видно, что
$x = R \sin \alpha$,
$y = (a - x) tg \alpha$.
Отсюда, исключая $\alpha$, получим уравнение границы поля:
$y = \frac{(a - x)x}{ \sqrt{R^{2} - x^{2}}}$.
