Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2404
2017-03-18 
Для толстой стеклянной линзы с радиусами кривизньк $r_{1}$ и $r_{2}$ и толщиной $d$ (рис.), находящейся в воздухе, фокусное расстояние $F$ определяется следующим выражением:
$F = \frac{nr_{1}r_{2}}{(n-1)[n(r_{2} - r_{1}) + d(n - 1)]}$.
где $n$ — показатель преломления (воздух — стекло).
Указание. $r_{i} > 0$ означает, что центр кривизны $O_{i}$ лежит с правой стороны от точки $S_{i}; r_{i} < 0$ означает, что центр кривизны $O_{i}$ лежит с левой стороны от точки $S_{i} (i = 1, 2)$.
Для определенных целей желательно, чтобы фокусное расстояние не зависело от длины волны света $\lambda$.
а) Для скольких различных длин волн можно добиться одного и того же значения фокусного расстояния?
б) Найдите соотношение между $r_{i}, d$ и показателями преломления, при котором фокусное расстояние линзы не зависит от длины волны света (см. предыдущий вопрос), и обсудите это соотношение. Нарисуйте возможные формы линзы. Укажите положения центров кривизны $O_{1}$ и $O_{2}$.
в) Покажите, что для плосковыпуклой линзы определенное фокусное расстояние можно получить только для одной длины волны света.
г) Укажите еще случаи, когда при определенных параметрах толстой линзы можно реализовать заданное фокусное расстояние только для одной длины волны.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
рис.4
а) Уравнение зависимости фокусного расстояния $F$ линзы от показателя преломления стекла относительно воздуха $n$ квадратное, следовательно, одно и то же значение $F$ возможно только при двух значениях $n$, а значит, и при двух значениях длины волны $\lambda$, так как $n = n( \lambda)$ — монотонная функция.
б) Запишем выражение $F(n_{1})=F(n_{2})$, используя условие задачи:
$\frac{n_{1}r_{1}r_{2}}{(n_{1} - 1)(n_{1}(r_{2} - r_{1}) + d(n_{1} - 1))} = \frac{n_{2}r_{1}r_{2}}{(n_{2} - 1)(n_{2}(r_{2} - r_{1}) + d(n_{2} - 1))}$.
Проведя преобразования, получим
$n_{1}n_{2} (n_{2} - n_{1})(r_{2} - r_{1} + d) = (n_{2} - n_{1}) d$.
Если $n_{1} \neq n_{2}$, то
$r_{1} - r_{2} = d \left ( 1 - \frac{1}{n_{1}n_{2}} \right )$. (1)
Так как $n_{1} > 1$ и $n_{2} > 1$, то
$0 < r_{1} - r_{2} < d$, (2)
где $d$ — толщина линзы ($d>0$).
Возможны следующие случаи:
1) $r_{1} > 0, r_{2} > 0$, т. е. центры кривизны обеих линз лежат справа от точек $S_{1}$ и $S_{2}$, причем $r_{2} < r_{1} < r_{2} + d_{1}$. При этом $O_{1}O_{2} < S_{1}S_{2}$ (рис. 1).
2) $r_{1} > 0, r_{2} < 0$, при этом $0 < |r_{1}| + |r_{2}| < d_{2}$ (рис. 2).
3) $r_{1} < 0, r_{2} < 0$, при этом $0 < |r_{2}| - |r_{1}| < d_{3}$, т.е. $|r_{1}| < |r_{2}| < d_{3} + |r_{1}|$ (рис. 3). Ясно, что и в этом случае $O_{1}O_{2} < S_{1}S_{2}$.
Примечание. Случай $r_{1} < 0, r_{2} > 0$ не удовлетворяет условию (2), так как при этом $r_{1} - r_{2} < 0$.
в) Для плосковыпуклой линзы $r_{2} \rightarrow \infty$. Фокусное расстояние такой линзы будет стремиться к значению $F_{1}$:
$F_{1} = lim_{r_{2} \rightarrow \infty} F_{n} = lim_{r_{2} \rightarrow \infty} \frac{}{} = \frac{r_{1}}{n-1}$.
При заданном значении $F$ получаем для $n$ линейное уравнение
$(n-l)F_{1} = r_{1}$,
т. е. определенное фокусное расстояние можно получить только при одном значении $n$ (или $\lambda$).
г) Преобразовав исходное уравнение $F(n)$, получим
$F(r_{2} - r_{1} + d)n^{2} - [(r_{2} - r_{1})F + 2dF + r_{1}r_{2}] n + Fd = 0$.
Введем для удобства рассмотрения следующие обозначения!
$A = (r_{2} - r_{1} + d) F$;
$B = - [(r_{3} - r_{1})F + 2dF + r_{1}R_{2}]$;
$C = Fd$.
Переписав наше уравнение с учетом введенных обозначений, получим квадратное уравнение
$An^{2} + Bn + C = 0$.
Это квадратное уравнение имеет только одно положительное действительное решение при выполнении одного из следующих условий:
1) $A=0$, тогда $n = - C/B > 1$. При этом $r_{1} = r_{2} + d$,
$n = \frac{Fd}{F(r_{2} - r_{1}) + 2Fd + r_{1}r_{2}} >1$.
$n = \frac{Fd}{Fd+ r_{1}r_{2}} > 1$,
Отсюда следует, что $r_{1}r_{2} < 0$, т. е. $r_{2} < 0, r_{1} > 0, d = | r_{1} | + |r_{2}|$. Этот случай представлен на рис. 4.
2) Дискриминант уравнения равен нулю: $B^{2} - 4AC = 0$, тогда $n = - B/2A > 1$. При этом $[F(r_{2} - r_{1}) + r_{1}r_{2}] + 4Fdr_{1}r_{2} = 0$,
$n = \frac{F(2d + r_{2} - r_{1}) + r_{1}r_{2}}{2F(d + r_{2} - r_{1})} > 1$.
3) $B=0$, тогда $n^{2} = - C/A > 1$. При этом $F( r_{2} - r_{1} + 2d) + r_{1}r_{2} = 0$,
$n = \sqrt{ - \frac{d}{r_{2} - r_{1} + d}} > 1$.
4) Возможен также случай, когда один из двух корней уравнения отрицательный или меньше единицы. Тогда значение $n>1$ будет только одно, и заданное фокусное расстояние можно реализовать только для одной длины волны.
Для толстой стеклянной линзы с радиусами кривизньк $r_{1}$ и $r_{2}$ и толщиной $d$ (рис.), находящейся в воздухе, фокусное расстояние $F$ определяется следующим выражением:
$F = \frac{nr_{1}r_{2}}{(n-1)[n(r_{2} - r_{1}) + d(n - 1)]}$.
где $n$ — показатель преломления (воздух — стекло).
Указание. $r_{i} > 0$ означает, что центр кривизны $O_{i}$ лежит с правой стороны от точки $S_{i}; r_{i} < 0$ означает, что центр кривизны $O_{i}$ лежит с левой стороны от точки $S_{i} (i = 1, 2)$.
Для определенных целей желательно, чтобы фокусное расстояние не зависело от длины волны света $\lambda$.
а) Для скольких различных длин волн можно добиться одного и того же значения фокусного расстояния?
б) Найдите соотношение между $r_{i}, d$ и показателями преломления, при котором фокусное расстояние линзы не зависит от длины волны света (см. предыдущий вопрос), и обсудите это соотношение. Нарисуйте возможные формы линзы. Укажите положения центров кривизны $O_{1}$ и $O_{2}$.
в) Покажите, что для плосковыпуклой линзы определенное фокусное расстояние можно получить только для одной длины волны света.
г) Укажите еще случаи, когда при определенных параметрах толстой линзы можно реализовать заданное фокусное расстояние только для одной длины волны.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
рис.4
а) Уравнение зависимости фокусного расстояния $F$ линзы от показателя преломления стекла относительно воздуха $n$ квадратное, следовательно, одно и то же значение $F$ возможно только при двух значениях $n$, а значит, и при двух значениях длины волны $\lambda$, так как $n = n( \lambda)$ — монотонная функция.
б) Запишем выражение $F(n_{1})=F(n_{2})$, используя условие задачи:
$\frac{n_{1}r_{1}r_{2}}{(n_{1} - 1)(n_{1}(r_{2} - r_{1}) + d(n_{1} - 1))} = \frac{n_{2}r_{1}r_{2}}{(n_{2} - 1)(n_{2}(r_{2} - r_{1}) + d(n_{2} - 1))}$.
Проведя преобразования, получим
$n_{1}n_{2} (n_{2} - n_{1})(r_{2} - r_{1} + d) = (n_{2} - n_{1}) d$.
Если $n_{1} \neq n_{2}$, то
$r_{1} - r_{2} = d \left ( 1 - \frac{1}{n_{1}n_{2}} \right )$. (1)
Так как $n_{1} > 1$ и $n_{2} > 1$, то
$0 < r_{1} - r_{2} < d$, (2)
где $d$ — толщина линзы ($d>0$).
Возможны следующие случаи:
1) $r_{1} > 0, r_{2} > 0$, т. е. центры кривизны обеих линз лежат справа от точек $S_{1}$ и $S_{2}$, причем $r_{2} < r_{1} < r_{2} + d_{1}$. При этом $O_{1}O_{2} < S_{1}S_{2}$ (рис. 1).
2) $r_{1} > 0, r_{2} < 0$, при этом $0 < |r_{1}| + |r_{2}| < d_{2}$ (рис. 2).
3) $r_{1} < 0, r_{2} < 0$, при этом $0 < |r_{2}| - |r_{1}| < d_{3}$, т.е. $|r_{1}| < |r_{2}| < d_{3} + |r_{1}|$ (рис. 3). Ясно, что и в этом случае $O_{1}O_{2} < S_{1}S_{2}$.
Примечание. Случай $r_{1} < 0, r_{2} > 0$ не удовлетворяет условию (2), так как при этом $r_{1} - r_{2} < 0$.
в) Для плосковыпуклой линзы $r_{2} \rightarrow \infty$. Фокусное расстояние такой линзы будет стремиться к значению $F_{1}$:
$F_{1} = lim_{r_{2} \rightarrow \infty} F_{n} = lim_{r_{2} \rightarrow \infty} \frac{}{} = \frac{r_{1}}{n-1}$.
При заданном значении $F$ получаем для $n$ линейное уравнение
$(n-l)F_{1} = r_{1}$,
т. е. определенное фокусное расстояние можно получить только при одном значении $n$ (или $\lambda$).
г) Преобразовав исходное уравнение $F(n)$, получим
$F(r_{2} - r_{1} + d)n^{2} - [(r_{2} - r_{1})F + 2dF + r_{1}r_{2}] n + Fd = 0$.
Введем для удобства рассмотрения следующие обозначения!
$A = (r_{2} - r_{1} + d) F$;
$B = - [(r_{3} - r_{1})F + 2dF + r_{1}R_{2}]$;
$C = Fd$.
Переписав наше уравнение с учетом введенных обозначений, получим квадратное уравнение
$An^{2} + Bn + C = 0$.
Это квадратное уравнение имеет только одно положительное действительное решение при выполнении одного из следующих условий:
1) $A=0$, тогда $n = - C/B > 1$. При этом $r_{1} = r_{2} + d$,
$n = \frac{Fd}{F(r_{2} - r_{1}) + 2Fd + r_{1}r_{2}} >1$.
$n = \frac{Fd}{Fd+ r_{1}r_{2}} > 1$,
Отсюда следует, что $r_{1}r_{2} < 0$, т. е. $r_{2} < 0, r_{1} > 0, d = | r_{1} | + |r_{2}|$. Этот случай представлен на рис. 4.
2) Дискриминант уравнения равен нулю: $B^{2} - 4AC = 0$, тогда $n = - B/2A > 1$. При этом $[F(r_{2} - r_{1}) + r_{1}r_{2}] + 4Fdr_{1}r_{2} = 0$,
$n = \frac{F(2d + r_{2} - r_{1}) + r_{1}r_{2}}{2F(d + r_{2} - r_{1})} > 1$.
3) $B=0$, тогда $n^{2} = - C/A > 1$. При этом $F( r_{2} - r_{1} + 2d) + r_{1}r_{2} = 0$,
$n = \sqrt{ - \frac{d}{r_{2} - r_{1} + d}} > 1$.
4) Возможен также случай, когда один из двух корней уравнения отрицательный или меньше единицы. Тогда значение $n>1$ будет только одно, и заданное фокусное расстояние можно реализовать только для одной длины волны.
