Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2403
2017-03-18 
Стержень закреплен под углом $\frac{ \pi}{2} - \alpha$ пo отношению к вертикальной оси $OO^{ \prime}$ (рис.). Конструкция может вращаться вокруг этой оси с угловой скоростью $\omega$. На стержне находится подвижное тело массой $m$. Движение тела по стержню происходит с трением. Коэффициент трения покоя $\mu$.
а) Для каких значений угла $\alpha$ тело находится в покое и для каких значений $\alpha$ тело движется при $\omega = 0$?
б) Определите условия, при которых тело находится в покое, если конструкция вращается с постоянной скоростью $\omega$. При вращении угол $\alpha$ не меняется.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
а) Если стержень не вращается ($\omega = 0$), то для равновесия тела (рис. 1) должны выполняться следующие условия:
$mg \sin \alpha - F_{тр} = 0$,
$N - mg \cos \alpha = 0$.
Так как $F_{тp} \leq \mu N$, получим:
$mg \sin \alpha \leq \mu mg \cos \alpha$,
$\mu \geq tg \alpha$. (1)
Максимальный угол $\beta$, при котором тело еще покоится, определяется из соотношения
$\mu = tg \beta$. (2)
Из (1) и (2) условие равновесия можно записать в виде
$tg \beta \geq tg \alpha$, или $| \alpha | \leq | \beta |$.
При $| \alpha | > | \beta | = arctg \mu$, тело движется.
б) Если стержень вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$, то равнодействующая сил $m \vec{g}, \vec{N}$ и $\vec{F}_{тp}$ обеспечивает телу центростремительное ускорение $a_{ц. с.} = \omega^{2} r = \omega^{2} l \cos \alpha$ и при этом равнз
$\vec{F}_{R} = m \vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр} = m a_{ц. c.}$. (3)
Сила трения $F_{тр}$ может быть направлена как вверх, так и вниз вдоль стержня. В зависимости от этого изменяется модуль равнодействующей силы $\vec{F}_{R}$.
На рис. 2 изображена векторная сумма сил, действующих на тело в том случае, если сила трения направлена вверх по стержню:
$F_{R} = mg tg ( \alpha - \phi)$, (4)
на рис. 3 — если сила трения направлена вниз по стержню:
$F_{R} = mg tg ( \alpha + \phi)$. (5)
Применив второй закон Ньютона для обоих случаев, получим
$mg tg ( \alpha - \phi) = m \omega^{2} l \cos \alpha, l = \frac{g}{ \omega^{2}} \frac{ tg ( \alpha - \phi)}{ \cos \alpha}$, (6)
$mg tg ( \alpha + \phi) = m \omega^{2} l \cos \alpha, l = \frac{g}{ \omega^{2}} \frac{ tg ( \alpha + \phi)}{ \cos \alpha}$, (7)
где $tg \phi = \frac{F_{тр}}{N} \leq \frac{ \mu N}{N} \leq \mu = tg \beta$, т.е. $\phi \leq \beta = arctg \mu$,
Следовательно, тело не перемещается вдоль стержня, если выполняются условия
$tg( \alpha - \phi ) \geq tg ( \alpha - \beta)$,
$tg( \alpha + \phi ) \leq tg ( \alpha + \beta)$,
т. е,
$\frac{g}{ \omega^{2}} \frac{tg ( \alpha - beta)}{ \cos \alpha} \leq l \leq \frac{g}{ \omega^{2}} \frac{tg ( \alpha + beta)}{ \cos \alpha}$.
Этот ответ справедлив при $\alpha \geq \beta$. Если $\beta > \alpha$, то условие равновесия тела на стержне следует записать в виде
$0 \leq l \leq \frac{g}{ \omega^{2} \cos \alpha} tg ( \alpha + \beta)$.
Стержень закреплен под углом $\frac{ \pi}{2} - \alpha$ пo отношению к вертикальной оси $OO^{ \prime}$ (рис.). Конструкция может вращаться вокруг этой оси с угловой скоростью $\omega$. На стержне находится подвижное тело массой $m$. Движение тела по стержню происходит с трением. Коэффициент трения покоя $\mu$.
а) Для каких значений угла $\alpha$ тело находится в покое и для каких значений $\alpha$ тело движется при $\omega = 0$?
б) Определите условия, при которых тело находится в покое, если конструкция вращается с постоянной скоростью $\omega$. При вращении угол $\alpha$ не меняется.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
а) Если стержень не вращается ($\omega = 0$), то для равновесия тела (рис. 1) должны выполняться следующие условия:
$mg \sin \alpha - F_{тр} = 0$,
$N - mg \cos \alpha = 0$.
Так как $F_{тp} \leq \mu N$, получим:
$mg \sin \alpha \leq \mu mg \cos \alpha$,
$\mu \geq tg \alpha$. (1)
Максимальный угол $\beta$, при котором тело еще покоится, определяется из соотношения
$\mu = tg \beta$. (2)
Из (1) и (2) условие равновесия можно записать в виде
$tg \beta \geq tg \alpha$, или $| \alpha | \leq | \beta |$.
При $| \alpha | > | \beta | = arctg \mu$, тело движется.
б) Если стержень вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$, то равнодействующая сил $m \vec{g}, \vec{N}$ и $\vec{F}_{тp}$ обеспечивает телу центростремительное ускорение $a_{ц. с.} = \omega^{2} r = \omega^{2} l \cos \alpha$ и при этом равнз
$\vec{F}_{R} = m \vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр} = m a_{ц. c.}$. (3)
Сила трения $F_{тр}$ может быть направлена как вверх, так и вниз вдоль стержня. В зависимости от этого изменяется модуль равнодействующей силы $\vec{F}_{R}$.
На рис. 2 изображена векторная сумма сил, действующих на тело в том случае, если сила трения направлена вверх по стержню:
$F_{R} = mg tg ( \alpha - \phi)$, (4)
на рис. 3 — если сила трения направлена вниз по стержню:
$F_{R} = mg tg ( \alpha + \phi)$. (5)
Применив второй закон Ньютона для обоих случаев, получим
$mg tg ( \alpha - \phi) = m \omega^{2} l \cos \alpha, l = \frac{g}{ \omega^{2}} \frac{ tg ( \alpha - \phi)}{ \cos \alpha}$, (6)
$mg tg ( \alpha + \phi) = m \omega^{2} l \cos \alpha, l = \frac{g}{ \omega^{2}} \frac{ tg ( \alpha + \phi)}{ \cos \alpha}$, (7)
где $tg \phi = \frac{F_{тр}}{N} \leq \frac{ \mu N}{N} \leq \mu = tg \beta$, т.е. $\phi \leq \beta = arctg \mu$,
Следовательно, тело не перемещается вдоль стержня, если выполняются условия
$tg( \alpha - \phi ) \geq tg ( \alpha - \beta)$,
$tg( \alpha + \phi ) \leq tg ( \alpha + \beta)$,
т. е,
$\frac{g}{ \omega^{2}} \frac{tg ( \alpha - beta)}{ \cos \alpha} \leq l \leq \frac{g}{ \omega^{2}} \frac{tg ( \alpha + beta)}{ \cos \alpha}$.
Этот ответ справедлив при $\alpha \geq \beta$. Если $\beta > \alpha$, то условие равновесия тела на стержне следует записать в виде
$0 \leq l \leq \frac{g}{ \omega^{2} \cos \alpha} tg ( \alpha + \beta)$.
