Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2401
2017-03-18 
На плоскопараллельную пластинку (рис.) в точке A с координатой $x=0$ перпендикулярно к пластинке падает узкий пучок света. Показатель преломления вещества пластинки меняется по формуле $n_{x} = \frac{n_{0}}{1 - x/R}$, где $n_{0}$ и $R$ — постоянные величины. Пучок покидает пластинку в точке В под углом $\alpha$ к начальному направлению.
1) Определите показатель преломления $n_{В}$ в точке В, в которой пучок покидает пластинку.
2) Определите координату $x_{В}$ точки В.
3) Определите толщину пластинки $d$.
Принять $n_{0} = 1,2, R = 13 см, \alpha = 30^{ \circ}$
Решение:
рис.1
рис.2
1) Разобьем мысленно пластинку на очень тонкие слои, перпендикулярные оси Ах. Внутри каждого слоя показатель преломления будем считать постоянным. При переходе из одного слоя в другой луч испытывает преломление (рис. 1). Ввиду различных флуктуаций реальный световой пучок нельзя направить на эти слои абсолютно точно под углом падения $90^{ \circ}$, поэтому пучок будет преломляться (это ясно и из| обратимости лучей).
Запишем закон преломления для перехода луча из слоя $i - 1$ в слой $i$:
$\frac{ \sin \beta_{i-1}}{ \sin \beta_{i}} = \frac{n_{i}}{n_{i-1}}$.
Записав такие же отношения для соседних слоев между сечениями А к В и перемножив их, получим
$n_{A} \sin \beta_{A} = n_{B} \sin \beta_{B}$.
По условию задачи $n_{A} = n_{0}, \beta_{A} = 90^{ \circ}$, откуда найдем
$n_{0} = n_{B} \sin \beta_{B}$. (1)
Рассмотрим преломление на границе «стекло—воздух» в точке В (рис. 1):
$\frac{ \sin \gamma}{ \sin \alpha} = \frac{1}{n_{B}}$,
где $\gamma = \beta_{A} - \beta_{B} = \pi /2 - \beta_{b}$. Следовательно, $\sin \gamma = \cos \beta_{B} = ( \sin \alpha )/n_{B}$, откуда
$\sin \beta_{B} = \sqrt{ 1 - ( \sin^{2} \alpha)/ n_{B}^{2} }$. (2)
Из (1) и (2) получаем
$n_{0} = n_{B} \sqrt{1 - ( \sin^{2} \alpha)/ n_{B}^{2}}$, или $n_{B} = \sqrt{ n_{0}^{2} + \sin^{2} \alpha}$.
Подставив числовые данные, найдем $n_{B} = 1,3$.
2) По условию задачи $n_{B} = \frac{n_{0}}{1 - x_{B}/R}$, тогда
$x_{B} = R(1 - n_{0}/n_{B}); x_{B} = 0,01 м$.
3) Как было показано в п. 1), в точке С с координатами х и y (рис. 2) выполняется равенство
$n_{C} \sin \beta_{C} = n_{0} \sin \beta_{A} = n_{0}$.
Следовательно,
$\sin \beta_{C} = n_{0} /n_{C}$. (3)
Подставив условие
$n_{C} = \frac{n_{0}}{1 - x/R}$
в выражение (3), получим
$\sin \beta_{C} = 1 - x/R$. (4)
Проведем ряд математических преобразований, чтобы получить зависимость $\Delta y ( \Delta x)$:
$\sin \beta_{C} = \frac{ \Delta y}{ \sqrt{ \Delta x^{2} + \Delta y^{2}}}$. (5)
Из (4) и (5) получаем
$\sin \beta_{C} = \frac{ \Delta y}{ \sqrt{ \Delta x^{2} + \Delta y^{2}}} = 1 - \frac{x}{R} = \frac{R-x}{R}$. (6)
Из равенства (6) следует
$tg \beta_{C} = \frac{ \Delta y}{ \Delta x} = \frac{R-x}{ \sqrt{ R^{2} - (R-x)^{2}}}$,
Отсюда находим зависимость $\Delta y ( \Delta x)$:
$\Delta y = \frac{R-x}{ \sqrt{ R^{2} - (R-x)^{2}}} \Delta x$. (7)
Проинтегрировав выражение (7) в пределах от 0 до $x_{B}$, получим
$d = y_{B} = \int_{0}^{x_{B}} \frac{R-x}{ \sqrt{R^{2} - (R-x)^{2}}} dx = \left . \sqrt{ R^{2} - (R-x)^{2}} \right |_{0}^{x_{B}} = \sqrt{ x_{B}( 2R - x_{B})}$; (7)
$y_{d} = 0,05 м$.
На плоскопараллельную пластинку (рис.) в точке A с координатой $x=0$ перпендикулярно к пластинке падает узкий пучок света. Показатель преломления вещества пластинки меняется по формуле $n_{x} = \frac{n_{0}}{1 - x/R}$, где $n_{0}$ и $R$ — постоянные величины. Пучок покидает пластинку в точке В под углом $\alpha$ к начальному направлению.
1) Определите показатель преломления $n_{В}$ в точке В, в которой пучок покидает пластинку.
2) Определите координату $x_{В}$ точки В.
3) Определите толщину пластинки $d$.
Принять $n_{0} = 1,2, R = 13 см, \alpha = 30^{ \circ}$
Решение:
рис.1
рис.2
1) Разобьем мысленно пластинку на очень тонкие слои, перпендикулярные оси Ах. Внутри каждого слоя показатель преломления будем считать постоянным. При переходе из одного слоя в другой луч испытывает преломление (рис. 1). Ввиду различных флуктуаций реальный световой пучок нельзя направить на эти слои абсолютно точно под углом падения $90^{ \circ}$, поэтому пучок будет преломляться (это ясно и из| обратимости лучей).
Запишем закон преломления для перехода луча из слоя $i - 1$ в слой $i$:
$\frac{ \sin \beta_{i-1}}{ \sin \beta_{i}} = \frac{n_{i}}{n_{i-1}}$.
Записав такие же отношения для соседних слоев между сечениями А к В и перемножив их, получим
$n_{A} \sin \beta_{A} = n_{B} \sin \beta_{B}$.
По условию задачи $n_{A} = n_{0}, \beta_{A} = 90^{ \circ}$, откуда найдем
$n_{0} = n_{B} \sin \beta_{B}$. (1)
Рассмотрим преломление на границе «стекло—воздух» в точке В (рис. 1):
$\frac{ \sin \gamma}{ \sin \alpha} = \frac{1}{n_{B}}$,
где $\gamma = \beta_{A} - \beta_{B} = \pi /2 - \beta_{b}$. Следовательно, $\sin \gamma = \cos \beta_{B} = ( \sin \alpha )/n_{B}$, откуда
$\sin \beta_{B} = \sqrt{ 1 - ( \sin^{2} \alpha)/ n_{B}^{2} }$. (2)
Из (1) и (2) получаем
$n_{0} = n_{B} \sqrt{1 - ( \sin^{2} \alpha)/ n_{B}^{2}}$, или $n_{B} = \sqrt{ n_{0}^{2} + \sin^{2} \alpha}$.
Подставив числовые данные, найдем $n_{B} = 1,3$.
2) По условию задачи $n_{B} = \frac{n_{0}}{1 - x_{B}/R}$, тогда
$x_{B} = R(1 - n_{0}/n_{B}); x_{B} = 0,01 м$.
3) Как было показано в п. 1), в точке С с координатами х и y (рис. 2) выполняется равенство
$n_{C} \sin \beta_{C} = n_{0} \sin \beta_{A} = n_{0}$.
Следовательно,
$\sin \beta_{C} = n_{0} /n_{C}$. (3)
Подставив условие
$n_{C} = \frac{n_{0}}{1 - x/R}$
в выражение (3), получим
$\sin \beta_{C} = 1 - x/R$. (4)
Проведем ряд математических преобразований, чтобы получить зависимость $\Delta y ( \Delta x)$:
$\sin \beta_{C} = \frac{ \Delta y}{ \sqrt{ \Delta x^{2} + \Delta y^{2}}}$. (5)
Из (4) и (5) получаем
$\sin \beta_{C} = \frac{ \Delta y}{ \sqrt{ \Delta x^{2} + \Delta y^{2}}} = 1 - \frac{x}{R} = \frac{R-x}{R}$. (6)
Из равенства (6) следует
$tg \beta_{C} = \frac{ \Delta y}{ \Delta x} = \frac{R-x}{ \sqrt{ R^{2} - (R-x)^{2}}}$,
Отсюда находим зависимость $\Delta y ( \Delta x)$:
$\Delta y = \frac{R-x}{ \sqrt{ R^{2} - (R-x)^{2}}} \Delta x$. (7)
Проинтегрировав выражение (7) в пределах от 0 до $x_{B}$, получим
$d = y_{B} = \int_{0}^{x_{B}} \frac{R-x}{ \sqrt{R^{2} - (R-x)^{2}}} dx = \left . \sqrt{ R^{2} - (R-x)^{2}} \right |_{0}^{x_{B}} = \sqrt{ x_{B}( 2R - x_{B})}$; (7)
$y_{d} = 0,05 м$.
