Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2400
2017-03-18 
С неподвижным атомом водорода, находящимся в основном энергетическом состоянии, сталкивается такой же атом водорода, движущийся со скоростью $v$. Пользуясь моделью Бора и зная, что энергия ионизации атома водорода составляет $E_{и}$, а масса атома равна $m$, определить предельную скорость $v_{0}$, ниже которой столкновения атомов являются упругими.
После достижения скорости $v_{0}$ столкновения между атомами могут стать неупругими, что вызывает излучение. Определите процентное отношение разности частот излучений, наблюдаемых в направлении, совпадающем с направлением начальной скорости налетающего атома, и в противоположном направлении, к среднему арифметическому этих частот. $E_{и} = 13,6 эВ = 2,18 \cdot 10^{-18} Дж; m = 1,67 \cdot 10^{-27} кг$.
Решение:
Согласно модели атома Бора излучение (или поглощение) кванта электромагнитной энергии возможно при переходе из одного стационарного состояния в другое:
$E_{k} - E_{n} = h \nu_{kn} = hR \left ( \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{k^{2}} \right )$,
где $R$ — постоянная Ридберга, $h$ — постоянная Планка. Энергия ионизации атома водорода равна энергии перехода из основного состояния $n=1$ в состояние $k = \infty$:
$E_{n} = hR \left ( \frac{1}{1} - 0 \right ) = hR$. (1)
Так как по условию атомы водорода находятся в основном состоя» яии, то минимальная энергия возбуждения $E_{B}$ равна
$E_{B_{min}} = E_{2} - E_{1} = hR \left ( 1 - \frac{1}{4} \right ) = \frac{3}{4} hR$.
Учитывая выражение (1), получим
$E_{B_{min}} = \frac{3}{4} E_{и}$. (2)
В системе отсчета, связанной с центром масс атомов, оба атома водорода имеют скорости, равные $v/2$. Применим закон сохранения энергии
$2 \frac{m}{2} \left ( \frac{v}{2} \right )^{2} = E_{к} + E_{В}$, (3)
где $E_{к}$ — кинетическая энергия атомов после соударения ($E_{к} \geq 0$), $E_{B}$ — энергия возбуждения атома водорода.
Соударение будет упругим, если
$2 \frac{m}{2} \left ( \frac{v}{2} \right )^{2} < E_{B_{min}} = \frac{3}{4} E_{и}$.
Следовательно, из равенства $\frac{mv_{0}^{2}}{2} = \frac{3}{4} E_{и}$ предельная скорость $v_{0}$, ниже которой столкновения атомов являются упругими, будет
$v_{0} = \sqrt{ \frac{3E_{и}}{m}}$.
Подставив числовые значения, получим $v_{0} = 6,26 \cdot 10^{4} м/с$.
Пусть $v_{0}$ — скорость налетающего атома. Тогда после неупругого столкновения система будет двигаться со скоростью $u$, модуль которой можно определить из закона сохранения импульса:
$mv_{0} = 2mu; u=v_{0}/2$.
Частоты излучения $\nu_{1}$ и $\nu_{2}$, наблюдаемые в направлении движения и в противоположном направлении, согласно эффекту Доплера, можно определить как
$\nu_{1} \approx \nu_{0} \left ( 1 + \frac{u}{c} \right ), \nu_{2} = \nu_{0} \left ( 1 - \frac{u}{c} \right )$,
где $\nu_{0}$ — частота излучения неподвижного атома, $c$ — скорость света.
Отсюда $\frac{ \Delta \nu}{ \nu_{ср}} = 2 \frac{ \nu_{1} - \nu_{2}}{ \nu_{1} + \nu_{2}} = 2 \frac{2u/c}{2} = \frac{2u}{c} = \frac{v_{0}}{c}$. Подставляя числовые данные, получим
$\frac{ \Delta \nu}{ \nu_{ср}} = 2 \cdot 10^{-4}; \frac{ \Delta \nu}{ \nu_{ср}} \cdot 100% = 0,02%$.
С неподвижным атомом водорода, находящимся в основном энергетическом состоянии, сталкивается такой же атом водорода, движущийся со скоростью $v$. Пользуясь моделью Бора и зная, что энергия ионизации атома водорода составляет $E_{и}$, а масса атома равна $m$, определить предельную скорость $v_{0}$, ниже которой столкновения атомов являются упругими.
После достижения скорости $v_{0}$ столкновения между атомами могут стать неупругими, что вызывает излучение. Определите процентное отношение разности частот излучений, наблюдаемых в направлении, совпадающем с направлением начальной скорости налетающего атома, и в противоположном направлении, к среднему арифметическому этих частот. $E_{и} = 13,6 эВ = 2,18 \cdot 10^{-18} Дж; m = 1,67 \cdot 10^{-27} кг$.
Решение:
Согласно модели атома Бора излучение (или поглощение) кванта электромагнитной энергии возможно при переходе из одного стационарного состояния в другое:
$E_{k} - E_{n} = h \nu_{kn} = hR \left ( \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{k^{2}} \right )$,
где $R$ — постоянная Ридберга, $h$ — постоянная Планка. Энергия ионизации атома водорода равна энергии перехода из основного состояния $n=1$ в состояние $k = \infty$:
$E_{n} = hR \left ( \frac{1}{1} - 0 \right ) = hR$. (1)
Так как по условию атомы водорода находятся в основном состоя» яии, то минимальная энергия возбуждения $E_{B}$ равна
$E_{B_{min}} = E_{2} - E_{1} = hR \left ( 1 - \frac{1}{4} \right ) = \frac{3}{4} hR$.
Учитывая выражение (1), получим
$E_{B_{min}} = \frac{3}{4} E_{и}$. (2)
В системе отсчета, связанной с центром масс атомов, оба атома водорода имеют скорости, равные $v/2$. Применим закон сохранения энергии
$2 \frac{m}{2} \left ( \frac{v}{2} \right )^{2} = E_{к} + E_{В}$, (3)
где $E_{к}$ — кинетическая энергия атомов после соударения ($E_{к} \geq 0$), $E_{B}$ — энергия возбуждения атома водорода.
Соударение будет упругим, если
$2 \frac{m}{2} \left ( \frac{v}{2} \right )^{2} < E_{B_{min}} = \frac{3}{4} E_{и}$.
Следовательно, из равенства $\frac{mv_{0}^{2}}{2} = \frac{3}{4} E_{и}$ предельная скорость $v_{0}$, ниже которой столкновения атомов являются упругими, будет
$v_{0} = \sqrt{ \frac{3E_{и}}{m}}$.
Подставив числовые значения, получим $v_{0} = 6,26 \cdot 10^{4} м/с$.
Пусть $v_{0}$ — скорость налетающего атома. Тогда после неупругого столкновения система будет двигаться со скоростью $u$, модуль которой можно определить из закона сохранения импульса:
$mv_{0} = 2mu; u=v_{0}/2$.
Частоты излучения $\nu_{1}$ и $\nu_{2}$, наблюдаемые в направлении движения и в противоположном направлении, согласно эффекту Доплера, можно определить как
$\nu_{1} \approx \nu_{0} \left ( 1 + \frac{u}{c} \right ), \nu_{2} = \nu_{0} \left ( 1 - \frac{u}{c} \right )$,
где $\nu_{0}$ — частота излучения неподвижного атома, $c$ — скорость света.
Отсюда $\frac{ \Delta \nu}{ \nu_{ср}} = 2 \frac{ \nu_{1} - \nu_{2}}{ \nu_{1} + \nu_{2}} = 2 \frac{2u/c}{2} = \frac{2u}{c} = \frac{v_{0}}{c}$. Подставляя числовые данные, получим
$\frac{ \Delta \nu}{ \nu_{ср}} = 2 \cdot 10^{-4}; \frac{ \Delta \nu}{ \nu_{ср}} \cdot 100% = 0,02%$.
