Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2398
2017-03-18 
Плоский заряженный конденсатор с прямоугольными пластинами установлен в вертикальном положении так, что его пластины соприкасаются с диэлектрической жидкостью. Расстояние между пластинами гораздо меньше линейных размеров пластин. Известны: напряженность начального электрического поля $E$ заряженного конденсатора, плотность $\rho$ и диэлектрическая проницаемость $\epsilon$ жидкости, высота пластин конденсатора $H$.
Определите высоту поднятия жидкости между пластинами и объясните это явление. Капиллярностью пренебречь.
Решение:
Причиной возникновения силы, поднимающей жидкость в зазоре между пластинами конденсатора, является неоднородность электростатического поля у края пластин конденсатора. Жидкость поляризуется, и на каждый ее диполь действует сила, втягивающая его в область более сильного поля, т. е. внутрь конденсатора. Конденсатор отключен от источника тока, заряд на его пластинах не изменяется:
$Q_{0} =C_{0}U_{0}$.
При поднятии жидкости на высоту $h$ (рис.) общий заряд пластин сохраняется, а емкость $C$ полученного конденсатора станет равной
$C = C_{1} + C_{2} = C_{0} \epsilon \frac{h}{H} + C_{0} \frac{H-h}{H}$,
где $H$ — высота пластин конденсатора. Энергия электрического поля такого конденсатора вместе с потенциальной энергией поднятой жидкости равна
$W = \frac{Q_{0}^{2}}{2C} + \frac{mgh}{2} = \frac{Q_{0}^{2}}{2C_{0}( \epsilon h/ H + (H-h)/H)} + \frac{ \rho Hhdgh}{2} = \frac{Q_{0}^{2}H}{2C_{0} (H+h( \epsilon - 1))} + \frac{ \rho g H dh^{2}}{2}$,
где $d$ — расстояние между пластинами, $H$ — ширина каждой пластины конденсатора (считаем их для простоты квадратными).
Условие равновесия — минимальное значение энергии $W(h)$.
Для исследования функции $W(h)$ на минимум берем производную $W^{ \prime}(h)$ и приравниваем ее нулю. При этом высоту подъема жидкости обозначим $h_{1}$:
$W^{ \prime}(h) = - \frac{Q_{0}^{2}H( \epsilon - 1)}{2C_{0}(H + h_{1} ( \epsilon - 1))^{2}} + \rho gHdh_{1} = 0$,
или
$h_{1} (H + h_{1} ( \epsilon - 1))^{2} = - \frac{Q_{0}^{2} ( \epsilon - 1)}{2C_{0} \rho dg}$.
Введем обозначения: $h_{1}/H = \alpha$ и
$\frac{Q_{0}^{2} ( \epsilon - 1)}{2C_{0} \rho g} \frac{1}{dH^{3}} = \frac{W_{0} ( \epsilon - 1)}{ \rho g dH^{3}} = \frac{W_{0}}{W_{max}} \frac{ \epsilon - 1}{2} = A$,
где $W_{max}$ — потенциальная энергия жидкости, заполняющей весь конденсатор.
Подставляя эти обозначения в последнее уравнение, получаем кубическое уравнение относительно $\alpha$:
$\alpha (1 + \alpha ( \epsilon - 1))^{2} = A$.
При небольших значениях $\alpha$ и $\epsilon$ приближенное решение этого уравнения
$\alpha = A$,
откуда
$h_{1} = H \frac{W_{0}}{W_{max}} \frac{( \epsilon - 1)}{2} = \frac{( \epsilon - 1) \epsilon_{0} E_{0}^{2}}{2 \rho g}$.
Нет смысла вычислять это значение более строго, так как даже для воды ($\epsilon = 81$), приняв $E_{0}= 10^{4} В/м$, получим
$h_{1} = \frac{(81-1) 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 10^{8}}{2 \cdot 10^{3} \cdot 10} = 4 \cdot 10^{-6} м$,
что явно меньше влияния капиллярности и других эффектов. Видно также, что конденсатор не заполняется жидкостью целиком.
Плоский заряженный конденсатор с прямоугольными пластинами установлен в вертикальном положении так, что его пластины соприкасаются с диэлектрической жидкостью. Расстояние между пластинами гораздо меньше линейных размеров пластин. Известны: напряженность начального электрического поля $E$ заряженного конденсатора, плотность $\rho$ и диэлектрическая проницаемость $\epsilon$ жидкости, высота пластин конденсатора $H$.
Определите высоту поднятия жидкости между пластинами и объясните это явление. Капиллярностью пренебречь.
Решение:
Причиной возникновения силы, поднимающей жидкость в зазоре между пластинами конденсатора, является неоднородность электростатического поля у края пластин конденсатора. Жидкость поляризуется, и на каждый ее диполь действует сила, втягивающая его в область более сильного поля, т. е. внутрь конденсатора. Конденсатор отключен от источника тока, заряд на его пластинах не изменяется:
$Q_{0} =C_{0}U_{0}$.
При поднятии жидкости на высоту $h$ (рис.) общий заряд пластин сохраняется, а емкость $C$ полученного конденсатора станет равной
$C = C_{1} + C_{2} = C_{0} \epsilon \frac{h}{H} + C_{0} \frac{H-h}{H}$,
где $H$ — высота пластин конденсатора. Энергия электрического поля такого конденсатора вместе с потенциальной энергией поднятой жидкости равна
$W = \frac{Q_{0}^{2}}{2C} + \frac{mgh}{2} = \frac{Q_{0}^{2}}{2C_{0}( \epsilon h/ H + (H-h)/H)} + \frac{ \rho Hhdgh}{2} = \frac{Q_{0}^{2}H}{2C_{0} (H+h( \epsilon - 1))} + \frac{ \rho g H dh^{2}}{2}$,
где $d$ — расстояние между пластинами, $H$ — ширина каждой пластины конденсатора (считаем их для простоты квадратными).
Условие равновесия — минимальное значение энергии $W(h)$.
Для исследования функции $W(h)$ на минимум берем производную $W^{ \prime}(h)$ и приравниваем ее нулю. При этом высоту подъема жидкости обозначим $h_{1}$:
$W^{ \prime}(h) = - \frac{Q_{0}^{2}H( \epsilon - 1)}{2C_{0}(H + h_{1} ( \epsilon - 1))^{2}} + \rho gHdh_{1} = 0$,
или
$h_{1} (H + h_{1} ( \epsilon - 1))^{2} = - \frac{Q_{0}^{2} ( \epsilon - 1)}{2C_{0} \rho dg}$.
Введем обозначения: $h_{1}/H = \alpha$ и
$\frac{Q_{0}^{2} ( \epsilon - 1)}{2C_{0} \rho g} \frac{1}{dH^{3}} = \frac{W_{0} ( \epsilon - 1)}{ \rho g dH^{3}} = \frac{W_{0}}{W_{max}} \frac{ \epsilon - 1}{2} = A$,
где $W_{max}$ — потенциальная энергия жидкости, заполняющей весь конденсатор.
Подставляя эти обозначения в последнее уравнение, получаем кубическое уравнение относительно $\alpha$:
$\alpha (1 + \alpha ( \epsilon - 1))^{2} = A$.
При небольших значениях $\alpha$ и $\epsilon$ приближенное решение этого уравнения
$\alpha = A$,
откуда
$h_{1} = H \frac{W_{0}}{W_{max}} \frac{( \epsilon - 1)}{2} = \frac{( \epsilon - 1) \epsilon_{0} E_{0}^{2}}{2 \rho g}$.
Нет смысла вычислять это значение более строго, так как даже для воды ($\epsilon = 81$), приняв $E_{0}= 10^{4} В/м$, получим
$h_{1} = \frac{(81-1) 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 10^{8}}{2 \cdot 10^{3} \cdot 10} = 4 \cdot 10^{-6} м$,
что явно меньше влияния капиллярности и других эффектов. Видно также, что конденсатор не заполняется жидкостью целиком.
