Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2397
2017-03-18 
Два цилиндра А и В одинаковых диаметров имеют свободно передвигающиеся поршни малой массы с общим стержнем. Стержень представляет собой короткую трубку, снабженную краном, который вначале закрыт. Цилиндр А вместе с поршнем теплоизолирован, а цилиндр В находится в термостате, имеющем температуру $t=27^{ \circ} С$ (рис.).
Вначале поршень цилиндра А закреплен и внутри цилиндра находится $m=32 кг$ аргона под давлением выше атмосферного. Цилиндр В объемом $V_{В}=5,54 м^{3}$ содержит некоторое количество кислорода.
После освобождения поршень цилиндра А движется достаточно медленно (квазистатически). В состоянии равновесия объем аргона увеличился в 8 раз, а плотность кислорода в цилиндре В увеличилась в 2 раза. Известно количество теплоты $Q=747,9 \cdot 10^{4} Дж$, переданное термостату. Молярная масса аргона $M=40 \cdot 10^{-3} кг/моль$.
1) Докажите на основании кинетической теории газов, учитывая упругие столкновения молекул с поршнем, что процесс в цилиндре А описывается уравнением $TV^{2/3} = const$.
2) Определите параметры $P, V, T$ аргона в начальном и конечном состояниях.
3) Вычислите конечное давление смеси газов, получающейся после открытия крана, соединяющего два цилиндра.
Решение:
рис.1
рис.2
1) Обозначим $v$ — скорость молекулы в системе отсчета хуz, a $v_{x}$ — ее проекцию на ось Ох, перпендикулярную поршню (рис.1).
В системе отсчета $x^{ \prime}y^{ \prime}z^{ \prime}$ (рис. 2), движущейся со скоростью поршня $u$, скорость молекулы равна $v^{ \prime} = v - u$. Проекция скорости молекулы на ось $O^{ \prime} x^{ \prime}$ равна $v_{x^{ \prime}}^{ \prime} = v_{x} - u$, а после упругого взаимодействия молекулы с поршнем становится равной
$v_{x^{ \prime}}^{ \prime \prime} = -(v_{x} - u) = u - v_{x}$.
В неподвижной системе координат хуz проекция скорости молекулы, отлетающей от поршня, на ось Ох равна
$v_{x}^{ \prime \prime} = 2u - v_{x}$.
Поскольку все направления движения молекул равновероятны, то модуль скорости подлетающих к поршню молекул будет равен
$v_{0} = \sqrt{ v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}} = v_{x} \sqrt{3}$,
а модуль скорости отлетающих от поршня молекул равен
$v = \sqrt{ (v_{x}^{ \prime \prime})^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}} = \sqrt{ (2u-v_{x})^{2} + 2v_{x}^{2}}$.
Изменение кинетической энергии молекулы после столкновения с поршнем равно
$\Delta E_{к} = \frac{mv^{2}}{2} - \frac{mv_{0}^{2}}{2} = \frac{m}{2} [(2u - v_{x})^{2} + 2 v_{x}^{2} - 3v_{x}^{2}] = 2mu^{2} - 2 muv_{x}$. (1)
Так как скорость теплового движения молекул $v_{x}$ намного больше скорости движения поршня $u (v_{x} \gg u)$, то $\Delta E_{к} \approx - 2 muv_{x}$. За время $\Delta t$ с поршнем площадью $S$ сталкивается $Z$ молекул:
$Z = 1/2 n | \overline{v_{x} - u}| S \Delta t$, (2)
где $n$ — концентрация молекул, $| \overline{v_{x} - u}|$ — среднее значение модуля разности скоростей $v_{x}$ и $u$.
Следовательно, за время $\Delta t$ внутренняя энергия всего газа изменяется на величину
$\Delta U = \Delta E_{к}Z = - 2muv_{x} \cdot \frac{1}{2} n | \overline{v_{x} - u}| S \Delta t = - nm S \bar{v_{x}^{2}} u \Delta t = - \frac{1}{3} nm S \bar{v}^{2} u \Delta t$. (3)
Полная энергия молекул газа в объеме $V$ равна
$U = nV \frac{m \bar{v}^{5}}{2}$. (4)
Из выражении (3) и (4) получим
$\frac{ \Delta U}{U} = - \frac{2}{3} \frac{ Su \Delta t}{V}$.
Так как изменение объема $\Delta V = Su \Delta t$, то
$\frac{ \Delta U}{U} = - \frac{2}{3} \frac{ \Delta V}{V}$, или $\frac{ \Delta U}{U} + \frac{2}{3} \frac{ \Delta V}{V} = 0$. (5)
Перейдем к бесконечно малым приращениям и проинтегрируем выражение (5):
$\int \frac{dU}{U} + \frac{2}{3} \int \frac{dV}{V} = 0$,
$ln U + \frac{2}{3} ln V = const$, или $UV^{3/2} = const$.
Так как $U \sim T \left ( U = \frac{3}{2} \frac{m}{M} RT \right )$, то
$TV^{3/2} = const$, (6)
что и требовалось доказать.
2) Обозначим начальные параметры состояния аргона в цилиндре $P_{1}, V_{1}, T_{1}$, а конечные параметры $P_{2}, V_{2}, T_{2}$. По условию $V_{2} = 8V_{1}$.
Так как плотность кислорода в цилиндре В увеличилась в 2 раза, то при той же массе объем кислорода V уменьшился в 2 раза: $V=V_{B}/2$, где $V_{B}$ — начальный его объем.
Так как сумма объемов газов в двух цилиндрах остается неизменной $V_{A} + V_{B} = const$, то
$V_{1} + V_{B} = V_{2} + V_{B}/2 = 8 V_{1} + V_{B}/2$.
Отсюда
$V_{1} = V_{B}/14; V_{1} = 0,396 м^{3}$,
$V_{2} = 8V_{1}; V_{2} = 3,166 м^{2}$.
Как мы доказали в п. 1, процесс в цилиндре А описывается уравнением
$T_{1}V_{1}^{2/3} = T_{2}V^{2/3}$.
Из этого уравнения следует:
$T_{1}/T_{2} = (V_{2}/V_{1})^{2/3} = (8V_{1}/V_{1})^{2/3} = 8^{2/3} = 4$,
т. е. при адиабатическом увеличении объема в 8 раз температура уменьшается в 4 раза. За счет уменьшения внутренней энергии аргона совершается работа $A = - \Delta U = \frac{3}{2} \frac{m}{M} R(T_{1} - T_{2})$ ($Q_{A} = 0$, так как нет теплообмена). При этом в сосуде В выделяется и передается термостату количество теплоты $Q = A$ ($\Delta U_{B} = 0$, так как процесс изотермический), следовательно,
$Q = - \Delta U = \frac{3}{2} \frac{m}{M} R (T_{1} - T_{2})$.
По условию задачи $T_{1} = 4T_{2}$, поэтому
$T_{1} = \frac{8}{9} \frac{QM}{mR}, T_{2} = \frac{2}{9} \frac{QM}{mR}$.
Подставив данные значения, получим $T_{1} = 1000 К, T_{2} = 250К$.
Из уравнения Менделеева—Клапейрона найдем искомые значения $P_{1}$ и $P_{2}$:
$P_{1} = \frac{mT_{1}R}{V_{1}M} = \frac{8Q}{9V_{1}} = \frac{112Q}{9V_{B}} = 1,68 \cdot 10^{6} Па$;
$P_{2} = \frac{mT_{2}R}{V_{2}M} = \frac{2}{9} \frac{Q}{V_{2}} = \frac{7}{18} \frac{Q}{V_{B}} = 5,25 \cdot 10^{6} Па$;
3) После открывания кранов в обоих сосудах устанавливается температура $t=27^{ \circ} С (T=300 К)$.
Суммарное давление смеси газов по закону Дальтона будет равно сумме парциальных давлений аргона и кислорода:
$P = P_{Ar} + P_{O_{2}}$,
$P_{Ar} = \frac{mRT}{M(V_{1} + V_{B})} = \frac{mRT}{M(V_{B}/14 + V_{B})} = \frac{14}{15} \frac{mRT}{MV_{B}} \approx 3,36 \cdot 10^{5} Па$.
Кислород расширился, но его температура в конце процесса та же, что и в начале, поэтому запишем:
$P_{2} \frac{V_{B}}{2} = P_{O_{2}} (V_{B} + V_{1}) = P_{O_{2}} \left ( V_{B} + \frac{V_{B}}{14} \right ) = \frac{15}{14} P_{O_{2}}$.
При равновесии начальное давление кислорода было равно конечному давлению аргона $P_{2}$:
$P_{O_{2}} = \frac{7}{15} P_{2} = 2,45 \cdot 10^{5} Па$.
Окончательно получаем: $P = 5,81 \cdot 10^{5} Па$.
Два цилиндра А и В одинаковых диаметров имеют свободно передвигающиеся поршни малой массы с общим стержнем. Стержень представляет собой короткую трубку, снабженную краном, который вначале закрыт. Цилиндр А вместе с поршнем теплоизолирован, а цилиндр В находится в термостате, имеющем температуру $t=27^{ \circ} С$ (рис.).
Вначале поршень цилиндра А закреплен и внутри цилиндра находится $m=32 кг$ аргона под давлением выше атмосферного. Цилиндр В объемом $V_{В}=5,54 м^{3}$ содержит некоторое количество кислорода.
После освобождения поршень цилиндра А движется достаточно медленно (квазистатически). В состоянии равновесия объем аргона увеличился в 8 раз, а плотность кислорода в цилиндре В увеличилась в 2 раза. Известно количество теплоты $Q=747,9 \cdot 10^{4} Дж$, переданное термостату. Молярная масса аргона $M=40 \cdot 10^{-3} кг/моль$.
1) Докажите на основании кинетической теории газов, учитывая упругие столкновения молекул с поршнем, что процесс в цилиндре А описывается уравнением $TV^{2/3} = const$.
2) Определите параметры $P, V, T$ аргона в начальном и конечном состояниях.
3) Вычислите конечное давление смеси газов, получающейся после открытия крана, соединяющего два цилиндра.
Решение:
рис.1
рис.2
1) Обозначим $v$ — скорость молекулы в системе отсчета хуz, a $v_{x}$ — ее проекцию на ось Ох, перпендикулярную поршню (рис.1).
В системе отсчета $x^{ \prime}y^{ \prime}z^{ \prime}$ (рис. 2), движущейся со скоростью поршня $u$, скорость молекулы равна $v^{ \prime} = v - u$. Проекция скорости молекулы на ось $O^{ \prime} x^{ \prime}$ равна $v_{x^{ \prime}}^{ \prime} = v_{x} - u$, а после упругого взаимодействия молекулы с поршнем становится равной
$v_{x^{ \prime}}^{ \prime \prime} = -(v_{x} - u) = u - v_{x}$.
В неподвижной системе координат хуz проекция скорости молекулы, отлетающей от поршня, на ось Ох равна
$v_{x}^{ \prime \prime} = 2u - v_{x}$.
Поскольку все направления движения молекул равновероятны, то модуль скорости подлетающих к поршню молекул будет равен
$v_{0} = \sqrt{ v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}} = v_{x} \sqrt{3}$,
а модуль скорости отлетающих от поршня молекул равен
$v = \sqrt{ (v_{x}^{ \prime \prime})^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}} = \sqrt{ (2u-v_{x})^{2} + 2v_{x}^{2}}$.
Изменение кинетической энергии молекулы после столкновения с поршнем равно
$\Delta E_{к} = \frac{mv^{2}}{2} - \frac{mv_{0}^{2}}{2} = \frac{m}{2} [(2u - v_{x})^{2} + 2 v_{x}^{2} - 3v_{x}^{2}] = 2mu^{2} - 2 muv_{x}$. (1)
Так как скорость теплового движения молекул $v_{x}$ намного больше скорости движения поршня $u (v_{x} \gg u)$, то $\Delta E_{к} \approx - 2 muv_{x}$. За время $\Delta t$ с поршнем площадью $S$ сталкивается $Z$ молекул:
$Z = 1/2 n | \overline{v_{x} - u}| S \Delta t$, (2)
где $n$ — концентрация молекул, $| \overline{v_{x} - u}|$ — среднее значение модуля разности скоростей $v_{x}$ и $u$.
Следовательно, за время $\Delta t$ внутренняя энергия всего газа изменяется на величину
$\Delta U = \Delta E_{к}Z = - 2muv_{x} \cdot \frac{1}{2} n | \overline{v_{x} - u}| S \Delta t = - nm S \bar{v_{x}^{2}} u \Delta t = - \frac{1}{3} nm S \bar{v}^{2} u \Delta t$. (3)
Полная энергия молекул газа в объеме $V$ равна
$U = nV \frac{m \bar{v}^{5}}{2}$. (4)
Из выражении (3) и (4) получим
$\frac{ \Delta U}{U} = - \frac{2}{3} \frac{ Su \Delta t}{V}$.
Так как изменение объема $\Delta V = Su \Delta t$, то
$\frac{ \Delta U}{U} = - \frac{2}{3} \frac{ \Delta V}{V}$, или $\frac{ \Delta U}{U} + \frac{2}{3} \frac{ \Delta V}{V} = 0$. (5)
Перейдем к бесконечно малым приращениям и проинтегрируем выражение (5):
$\int \frac{dU}{U} + \frac{2}{3} \int \frac{dV}{V} = 0$,
$ln U + \frac{2}{3} ln V = const$, или $UV^{3/2} = const$.
Так как $U \sim T \left ( U = \frac{3}{2} \frac{m}{M} RT \right )$, то
$TV^{3/2} = const$, (6)
что и требовалось доказать.
2) Обозначим начальные параметры состояния аргона в цилиндре $P_{1}, V_{1}, T_{1}$, а конечные параметры $P_{2}, V_{2}, T_{2}$. По условию $V_{2} = 8V_{1}$.
Так как плотность кислорода в цилиндре В увеличилась в 2 раза, то при той же массе объем кислорода V уменьшился в 2 раза: $V=V_{B}/2$, где $V_{B}$ — начальный его объем.
Так как сумма объемов газов в двух цилиндрах остается неизменной $V_{A} + V_{B} = const$, то
$V_{1} + V_{B} = V_{2} + V_{B}/2 = 8 V_{1} + V_{B}/2$.
Отсюда
$V_{1} = V_{B}/14; V_{1} = 0,396 м^{3}$,
$V_{2} = 8V_{1}; V_{2} = 3,166 м^{2}$.
Как мы доказали в п. 1, процесс в цилиндре А описывается уравнением
$T_{1}V_{1}^{2/3} = T_{2}V^{2/3}$.
Из этого уравнения следует:
$T_{1}/T_{2} = (V_{2}/V_{1})^{2/3} = (8V_{1}/V_{1})^{2/3} = 8^{2/3} = 4$,
т. е. при адиабатическом увеличении объема в 8 раз температура уменьшается в 4 раза. За счет уменьшения внутренней энергии аргона совершается работа $A = - \Delta U = \frac{3}{2} \frac{m}{M} R(T_{1} - T_{2})$ ($Q_{A} = 0$, так как нет теплообмена). При этом в сосуде В выделяется и передается термостату количество теплоты $Q = A$ ($\Delta U_{B} = 0$, так как процесс изотермический), следовательно,
$Q = - \Delta U = \frac{3}{2} \frac{m}{M} R (T_{1} - T_{2})$.
По условию задачи $T_{1} = 4T_{2}$, поэтому
$T_{1} = \frac{8}{9} \frac{QM}{mR}, T_{2} = \frac{2}{9} \frac{QM}{mR}$.
Подставив данные значения, получим $T_{1} = 1000 К, T_{2} = 250К$.
Из уравнения Менделеева—Клапейрона найдем искомые значения $P_{1}$ и $P_{2}$:
$P_{1} = \frac{mT_{1}R}{V_{1}M} = \frac{8Q}{9V_{1}} = \frac{112Q}{9V_{B}} = 1,68 \cdot 10^{6} Па$;
$P_{2} = \frac{mT_{2}R}{V_{2}M} = \frac{2}{9} \frac{Q}{V_{2}} = \frac{7}{18} \frac{Q}{V_{B}} = 5,25 \cdot 10^{6} Па$;
3) После открывания кранов в обоих сосудах устанавливается температура $t=27^{ \circ} С (T=300 К)$.
Суммарное давление смеси газов по закону Дальтона будет равно сумме парциальных давлений аргона и кислорода:
$P = P_{Ar} + P_{O_{2}}$,
$P_{Ar} = \frac{mRT}{M(V_{1} + V_{B})} = \frac{mRT}{M(V_{B}/14 + V_{B})} = \frac{14}{15} \frac{mRT}{MV_{B}} \approx 3,36 \cdot 10^{5} Па$.
Кислород расширился, но его температура в конце процесса та же, что и в начале, поэтому запишем:
$P_{2} \frac{V_{B}}{2} = P_{O_{2}} (V_{B} + V_{1}) = P_{O_{2}} \left ( V_{B} + \frac{V_{B}}{14} \right ) = \frac{15}{14} P_{O_{2}}$.
При равновесии начальное давление кислорода было равно конечному давлению аргона $P_{2}$:
$P_{O_{2}} = \frac{7}{15} P_{2} = 2,45 \cdot 10^{5} Па$.
Окончательно получаем: $P = 5,81 \cdot 10^{5} Па$.
