Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2396
2017-03-18 
Три цилиндра одинаковой массы, длины и внешнего радиуса положены на наклонную плоскость. В начальный момент они находятся в состоянии покоя. Коэффициент трения скольжения $\mu$ по наклонной плоскости задан и одинаков для всех цилиндров.
Первый цилиндр полый (в виде трубы), второй — однородный, а третий имеет такую же полость, как первый, но закрытую крышками пренебрежимо малой массы и заполненную жидкостью такой же плотности, как и стенки. Трением между жидкостью и стенками пренебречь.
Плотность вещества первого цилиндра в $n$ раз больше плотности вещества второго или третьего цилиндров. Определите:
1) Линейные ускорения осей цилиндров в том случае, когда скольжение отсутствует. Сравните эти ускорения.
2) Каким должен быть угол наклона плоскости $\alpha$, чтобы ни один цилиндр не скользил.
3) Взаимные отношения угловых ускорений в случае качения с проскальзыванием всех цилиндров. Сравните эти ускорения.
4) Силу взаимодействия между жидкостью и стенками при скольжении третьего цилиндра. Масса жидкости $m$ известна.
Решение:
рис.1
рис.2
1) На цилиндры, скатывающиеся с наклонной плоскости, действуют следующие внешние силы (рис. 1): сила тяжести $m \vec{g}$, сила реакции $\vec{N}$ и сила трения $\vec{F}_{тр}$. (Заметим, что $F_{тр} \leq \nu N$.)
Запишем уравнения второго закона Ньютона в проекциях на координатные оси:
$Mg \sin \alpha - F_{тр} = Ma$, (1)
$N - Mg \cos \alpha = 0$, (2)
где $a$ — ускорение оси цилиндра, $M$ — полная масса каждого цилиндра.
Цилиндр вращается с угловым ускорением $\epsilon$:
$\epsilon = a/R$,
где $R$ — радиус цилиндра.
Так как это ускорение сообщается цилиндру силой трения, то, применив основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела, получим
$F_{тр}R = I \epsilon = I \frac{a}{R}$, (3)
где $I$ — момент инерции цилиндра. Эта запись справедлива, если цилиндр скатывается без проскальзывания.
Из выражений (3) и (1) имеем
$Mg \sin \alpha - I \frac{a}{R^{2}} = Ma$,
$a = \frac{Mg \sin \alpha}{M + I/R^{2}} = \frac{g \sin \alpha}{1 + I/MR^{2}}$. (4)
Обозначим $r$ — внутренний радиус первого и третьего цилиндров, $\rho$ — плотность вещества первого цилиндра. Тогда по условию задачи плотности вещества второго и третьего цилиндров будут в $n$ раз меньше:
$\rho_{2} = \rho_{3} = \rho /n$.
Из условия равенства масс первого и второго цилиндров получим:
$\rho \pi (R^{2} - r^{2}) l = \frac{ \rho}{n} \pi R^{2} l$,
$\frac{r}{R} = \sqrt{ \frac{n-1}{n}}$. (5)
Момент инерции первого цилиндра
$I_{1} = 1/2 M (R^{2} + r^{2})$. (6)
С учетом (5) получим
$I_{1} = 1/2 MR^{2} (2 - 1/n)$.
Момент инерции второго цилиндра
$I_{2} = 1/2 MR^{2}$. (7)
Жидкость, находящаяся в полости третьего цилиндра, вклад в энергию вращательного движения не вносит, так как при отсутствии трения между жидкостью и стенками цилиндра она не вращается.
Плотность вещества третьего цилиндра в $n$ раз меньше плотности вещества первого цилиндра, поэтому эффективная (вращающаяся) масса третьего цилиндра $M_{эф} = M/n$, а его момент инерции
$I_{3} = \frac{1}{2} M_{эф} R^{2} (2 - 1/n) = \frac{1}{2} \frac{MR^{2}}{n}(2 - 1/n)$. (8)
Подставляя значения $I_{1}, I_{2}$ и $I_{3}$ в выражение (4), получим
$a_{1} = \frac{2g \sin \alpha}{4 - 1/n} = \frac{2g \sin \alpha}{3 + (1 - 1/n)}$; (9)
$a_{2} = 2/3 g \sin \alpha$; (10)
$a_{3} = \frac{2g \sin \alpha}{2 + 2/n - 1/n^{2}} = \frac{2g \sin \alpha}{3 + (2/n - 1/n^{2} - 1)} = \frac{2g \sin \alpha}{3 - (1 - 2/n + 1/n^{2})}$. (11)
Сравнение ускорений
$a_{1} : a_{2} : a_{3} = \frac{2}{3 + (1 - 1/n)} : \frac{2}{3} : \frac{2}{3 - (1 - 2/n + 1/n^{2})}$
показывает, что $a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3}$.
2) Условие скатывания цилиндров без проскальзывания:
$F_{тр} \leq \mu N$.
Из уравнения (2)
$N = Mg \cos \alpha, F_{тр} \leq \mu Mg \cos \alpha$.
Из уравнения (3)
$F_{тр} = Ia/R^{2}, Ia/R^{2} \leq \mu Mg \cos \alpha$.
Используя уравнение (4), запишем
$\frac{Ig \sin \alpha}{R^{2}(1 + I/MR^{2})} \leq \mu Mg \cos \alpha$,
или
$tg \alpha \leq \mu (1 + MR^{2}/I)$. (12)
Найдем максимальные значения $tg \alpha$, при которых каждый из цилиндров не проскальзывает:
$tg \alpha_{1} = \mu (1 + MR^{2}/I_{1}) = \mu \left ( 1 + \frac{MR^{2}}{1/2 MR^{2} (2 - 1/n)} \right ) = \frac{4n-1}{2n-1} \mu$,
$tg \alpha_{2} = \mu (1 + MR^{2}/I_{2}) = \mu \left ( 1 + \frac{MR^{2}}{1/2MR^{2}} \right ) = 3 \mu$,
$tg \alpha_{3} = \mu (1 + MR^{2}/I_{3}) = \mu \left ( 1 + \frac{MR^{2}}{1/2(MR^{2}/n)(2 - 1/n)} \right ) = \frac{2n^{2} + 2n - 1}{2n-1} \mu$.
При $n > 1$ минимальный угол, при котором ни один цилиндр не проскальзывает, соответствует углу
$\alpha_{1} = arctg \frac{4n-1}{2n-1} \mu$. (13)
Примечание. Из выражения (12) следует, что угол $\alpha$ убывает при возрастании момента инерции $I$. Максимальный момент инерции — у первого цилиндра. Это мы показали, доказав, что $a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3}$. Отсюда сразу следует, что
$tg \alpha_{min} = \frac{4n-1}{2n-1} \mu, \alpha_{min} = arctg \frac{4n-1}{2n-1} \mu$.
3) Для случая качения со скольжением всех цилиндров запишем
$F_{тр} = \mu Mg \cos \alpha, \epsilon = \frac{F_{тр}R}{I} = \frac{ \mu Mg R \cos \alpha}{I}$.
Отношение угловых ускорений равно
$\epsilon_{1}: \epsilon_{2}: \epsilon_{3} = \frac{1}{I_{1}} : \frac{1}{I_{2}} : \frac{1}{I_{3}} = \frac{1}{2 - 1/n} : 1 : \frac{1}{(1/n)(2-1/n)} = 1: \left ( 2 - \frac{1}{n} \right ) : n$. (14)
Из выражения (14) видно, что наибольшее угловое ускорение при $n > 1$ — у третьего цилиндра.
4) В случае скольжения третьего цилиндра необходимо дополнительно рассмотреть силы, действующие на жидкость: силу тяжести $mg$ и силу $\vec{F}$ — равнодействующую сил давления стенок на жидкость (рис. 2). На основании второго закона Ньютона можно записать
$mg \in \alpha + F_{x} = ma$,
$- mg \cos \alpha + F_{y} = 0$,
где ускорение цилиндра (и жидкости) равно $a = \frac{mg \sin \alpha - F_{тр}}{m}$ или $a = g ( \sin \alpha - \mu \cos \alpha)$. Следовательно, $F_{x} = - \mu mg \cos \alpha , F_{y} = mg \cos \alpha$. Отсюда модуль искомой силы $F$ равен
$F = \sqrt{ F_{x}^{2} + F_{y}^{2}} = mg \sqrt{1 + \mu^{2}} \cos \alpha$,
а направление вектора этой силы определяется углом $\beta$ (рис. 2):
$tg \beta = F_{y}/F_{x} = 1/ \mu$, или $\beta = arctg (1 / \mu)$.
Три цилиндра одинаковой массы, длины и внешнего радиуса положены на наклонную плоскость. В начальный момент они находятся в состоянии покоя. Коэффициент трения скольжения $\mu$ по наклонной плоскости задан и одинаков для всех цилиндров.
Первый цилиндр полый (в виде трубы), второй — однородный, а третий имеет такую же полость, как первый, но закрытую крышками пренебрежимо малой массы и заполненную жидкостью такой же плотности, как и стенки. Трением между жидкостью и стенками пренебречь.
Плотность вещества первого цилиндра в $n$ раз больше плотности вещества второго или третьего цилиндров. Определите:
1) Линейные ускорения осей цилиндров в том случае, когда скольжение отсутствует. Сравните эти ускорения.
2) Каким должен быть угол наклона плоскости $\alpha$, чтобы ни один цилиндр не скользил.
3) Взаимные отношения угловых ускорений в случае качения с проскальзыванием всех цилиндров. Сравните эти ускорения.
4) Силу взаимодействия между жидкостью и стенками при скольжении третьего цилиндра. Масса жидкости $m$ известна.
Решение:
рис.1
рис.2
1) На цилиндры, скатывающиеся с наклонной плоскости, действуют следующие внешние силы (рис. 1): сила тяжести $m \vec{g}$, сила реакции $\vec{N}$ и сила трения $\vec{F}_{тр}$. (Заметим, что $F_{тр} \leq \nu N$.)
Запишем уравнения второго закона Ньютона в проекциях на координатные оси:
$Mg \sin \alpha - F_{тр} = Ma$, (1)
$N - Mg \cos \alpha = 0$, (2)
где $a$ — ускорение оси цилиндра, $M$ — полная масса каждого цилиндра.
Цилиндр вращается с угловым ускорением $\epsilon$:
$\epsilon = a/R$,
где $R$ — радиус цилиндра.
Так как это ускорение сообщается цилиндру силой трения, то, применив основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела, получим
$F_{тр}R = I \epsilon = I \frac{a}{R}$, (3)
где $I$ — момент инерции цилиндра. Эта запись справедлива, если цилиндр скатывается без проскальзывания.
Из выражений (3) и (1) имеем
$Mg \sin \alpha - I \frac{a}{R^{2}} = Ma$,
$a = \frac{Mg \sin \alpha}{M + I/R^{2}} = \frac{g \sin \alpha}{1 + I/MR^{2}}$. (4)
Обозначим $r$ — внутренний радиус первого и третьего цилиндров, $\rho$ — плотность вещества первого цилиндра. Тогда по условию задачи плотности вещества второго и третьего цилиндров будут в $n$ раз меньше:
$\rho_{2} = \rho_{3} = \rho /n$.
Из условия равенства масс первого и второго цилиндров получим:
$\rho \pi (R^{2} - r^{2}) l = \frac{ \rho}{n} \pi R^{2} l$,
$\frac{r}{R} = \sqrt{ \frac{n-1}{n}}$. (5)
Момент инерции первого цилиндра
$I_{1} = 1/2 M (R^{2} + r^{2})$. (6)
С учетом (5) получим
$I_{1} = 1/2 MR^{2} (2 - 1/n)$.
Момент инерции второго цилиндра
$I_{2} = 1/2 MR^{2}$. (7)
Жидкость, находящаяся в полости третьего цилиндра, вклад в энергию вращательного движения не вносит, так как при отсутствии трения между жидкостью и стенками цилиндра она не вращается.
Плотность вещества третьего цилиндра в $n$ раз меньше плотности вещества первого цилиндра, поэтому эффективная (вращающаяся) масса третьего цилиндра $M_{эф} = M/n$, а его момент инерции
$I_{3} = \frac{1}{2} M_{эф} R^{2} (2 - 1/n) = \frac{1}{2} \frac{MR^{2}}{n}(2 - 1/n)$. (8)
Подставляя значения $I_{1}, I_{2}$ и $I_{3}$ в выражение (4), получим
$a_{1} = \frac{2g \sin \alpha}{4 - 1/n} = \frac{2g \sin \alpha}{3 + (1 - 1/n)}$; (9)
$a_{2} = 2/3 g \sin \alpha$; (10)
$a_{3} = \frac{2g \sin \alpha}{2 + 2/n - 1/n^{2}} = \frac{2g \sin \alpha}{3 + (2/n - 1/n^{2} - 1)} = \frac{2g \sin \alpha}{3 - (1 - 2/n + 1/n^{2})}$. (11)
Сравнение ускорений
$a_{1} : a_{2} : a_{3} = \frac{2}{3 + (1 - 1/n)} : \frac{2}{3} : \frac{2}{3 - (1 - 2/n + 1/n^{2})}$
показывает, что $a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3}$.
2) Условие скатывания цилиндров без проскальзывания:
$F_{тр} \leq \mu N$.
Из уравнения (2)
$N = Mg \cos \alpha, F_{тр} \leq \mu Mg \cos \alpha$.
Из уравнения (3)
$F_{тр} = Ia/R^{2}, Ia/R^{2} \leq \mu Mg \cos \alpha$.
Используя уравнение (4), запишем
$\frac{Ig \sin \alpha}{R^{2}(1 + I/MR^{2})} \leq \mu Mg \cos \alpha$,
или
$tg \alpha \leq \mu (1 + MR^{2}/I)$. (12)
Найдем максимальные значения $tg \alpha$, при которых каждый из цилиндров не проскальзывает:
$tg \alpha_{1} = \mu (1 + MR^{2}/I_{1}) = \mu \left ( 1 + \frac{MR^{2}}{1/2 MR^{2} (2 - 1/n)} \right ) = \frac{4n-1}{2n-1} \mu$,
$tg \alpha_{2} = \mu (1 + MR^{2}/I_{2}) = \mu \left ( 1 + \frac{MR^{2}}{1/2MR^{2}} \right ) = 3 \mu$,
$tg \alpha_{3} = \mu (1 + MR^{2}/I_{3}) = \mu \left ( 1 + \frac{MR^{2}}{1/2(MR^{2}/n)(2 - 1/n)} \right ) = \frac{2n^{2} + 2n - 1}{2n-1} \mu$.
При $n > 1$ минимальный угол, при котором ни один цилиндр не проскальзывает, соответствует углу
$\alpha_{1} = arctg \frac{4n-1}{2n-1} \mu$. (13)
Примечание. Из выражения (12) следует, что угол $\alpha$ убывает при возрастании момента инерции $I$. Максимальный момент инерции — у первого цилиндра. Это мы показали, доказав, что $a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3}$. Отсюда сразу следует, что
$tg \alpha_{min} = \frac{4n-1}{2n-1} \mu, \alpha_{min} = arctg \frac{4n-1}{2n-1} \mu$.
3) Для случая качения со скольжением всех цилиндров запишем
$F_{тр} = \mu Mg \cos \alpha, \epsilon = \frac{F_{тр}R}{I} = \frac{ \mu Mg R \cos \alpha}{I}$.
Отношение угловых ускорений равно
$\epsilon_{1}: \epsilon_{2}: \epsilon_{3} = \frac{1}{I_{1}} : \frac{1}{I_{2}} : \frac{1}{I_{3}} = \frac{1}{2 - 1/n} : 1 : \frac{1}{(1/n)(2-1/n)} = 1: \left ( 2 - \frac{1}{n} \right ) : n$. (14)
Из выражения (14) видно, что наибольшее угловое ускорение при $n > 1$ — у третьего цилиндра.
4) В случае скольжения третьего цилиндра необходимо дополнительно рассмотреть силы, действующие на жидкость: силу тяжести $mg$ и силу $\vec{F}$ — равнодействующую сил давления стенок на жидкость (рис. 2). На основании второго закона Ньютона можно записать
$mg \in \alpha + F_{x} = ma$,
$- mg \cos \alpha + F_{y} = 0$,
где ускорение цилиндра (и жидкости) равно $a = \frac{mg \sin \alpha - F_{тр}}{m}$ или $a = g ( \sin \alpha - \mu \cos \alpha)$. Следовательно, $F_{x} = - \mu mg \cos \alpha , F_{y} = mg \cos \alpha$. Отсюда модуль искомой силы $F$ равен
$F = \sqrt{ F_{x}^{2} + F_{y}^{2}} = mg \sqrt{1 + \mu^{2}} \cos \alpha$,
а направление вектора этой силы определяется углом $\beta$ (рис. 2):
$tg \beta = F_{y}/F_{x} = 1/ \mu$, или $\beta = arctg (1 / \mu)$.
