Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2395
2017-03-16 
Перед вертикально расположенным плоским зеркалом находится наполненный водой аквариум шарообразной формы из тонкого стекла. Радиус аквариума $R$, расстояние между его центром и зеркалом составляет $3R$. Наблюдатель, находящийся на большом расстоянии от аквариума и зеркала, смотрит по направлению, проходящему через центр аквариума, перпендикулярно зеркалу. В диаметрально противоположной от наблюдателя точке аквариума находится маленькая рыбка, которая начинает перемещаться вдоль стенки аквариума со скоростью $v$. С какой относительной скоростью $v_{отн}$ будут расходиться изображения рыбки, видимые наблюдателем? Показатель преломления воды $n=4/3$.
Решение:
При рассматривании рыбки будут видны два ее изображения. Первое изображение получается в результате прохождения световые лучей от рыбки к наблюдателю через одну преломляющую поверхности «вода — воздух» (преломлением в стекле по условию задачи пренебрегаем). Второе изображение получается в результате прохождения через аквариум световых лучей, отраженных плоским зеркалом. В этом случае аквариум можно считать шаровой линзой, через которую рассматривается изображение рыбки, даваемое плоским зеркалом. Найдем скорости перемещения первого изображения. Пусть рыбка за малый интервал времени $\Delta t$ переместилась вдоль стенки аквариума из точки А в точки В (рис.). Найдем перемещение ее изображения. Для этого найдем положение изображения рыбки.
Выберем луч 1 света, выходящий из точки В и проходящий через центр O сферического аквариума. Этот луч выйдет из аквариума без преломления. Луч 2 — это такой луч, который после преломления на границе «аквариум — воздух» идет параллельно прямой, проходящем через точки О и А. Когда рыбка находится в точке В, ее изображение находится на пересечении продолжений лучей 1 и 2 в точке $B_{1}$. Найдем скорость $v_{1}$ перемещения изображения рыбки из точки $A_{1}$ в точку $B_{1}$:
$v_{1} = A_{1} B_{1}/ \Delta t$.
Перемещение $A_{1}B_{1}$ изображения можно выразить через действительное перемещение АВ рыбки и затем через ее действительную скорость $v$:
$v=AB/ \Delta t, v_{1}/v = A_{1}B_{1}/AB$.
Для малых углов $\phi$ и $\alpha$ из рис. следует, что $AB \approx R \phi, A_{1}B_{1} = DC \approx R \alpha$, где $R$ — радиус сферического аквариума. Следовательно,
$v_{1}/v = A_{1}B_{1}/AB = \alpha / \phi$.
как видно из рис., угол $\gamma = 180^{ \circ} - 2 \beta = 180^{ \circ} - \alpha - \phi$. Отсюда следует, что $|phi = 2 \beta - \alpha$ и
$\frac{v_{1}}{v} = \frac{ \alpha}{2 \beta - \alpha} = \frac{ \alpha / \beta}{2 - \alpha / \beta}$.
Для малых углов $\alpha$ и $\beta$ $\alpha / \beta \approx \sin \alpha / \sin \beta = n$, откуда
$\frac{v_{1}}{v} = \frac{n}{2-n}$.
При $n=4/3$ получаем $v_{1}/v = 2$, т. е. $v_{1}=2v$, вектор $v_{1}$ скорости перемещения изображения рыбки направлен в ту же сторону, что и вектор скорости $v$ рыбки.
Найдем теперь скорость $v_{2}$ перемещения второго изображения. Сначала определим фокусное расстояние аквариума как шаровой линзы.
Рассмотрим ход произвольного луча света, проходящего на небольшом расстоянии от центра О сферического аквариума (рис.). После преломления на двух границах раздела «воздух — вода» (в точке C) и «вода — воздух» (в точке А) луч отклоняется от первоначального направления распространения и пересекает прямую, проходящую через центр О и параллельную первоначальному направлению луча в некоторой точке F. Найдем расстояние BF, которое обозначим $a (BF = a$).
Для малых углов $\gamma$ и $\delta$ можно записать приближенные равенства
$AB \approx BF \cdot \delta$ и $AB \approx OB \cdot \gamma$.
Так как $OB \approx R$, из этих равенств следует
$a \delta = R \gamma$, или $a = R \gamma / \delta$.
Остается выразить $a$ через величины углов $\gamma$ и $\delta$. Для углов $\triangle AOF$ можно записать равенство
$\delta = \alpha - \gamma$.
Так как угол $\gamma = 2 \beta - \alpha$, получим
$\delta = 2 \alpha - 2 \beta$.
Подставляя полученные значения для углов $\gamma$ и $\delta$ в выражение для $a$, находим
$a = R \frac{2 \beta - \alpha}{2 \alpha - 2 \beta} = R \frac{2 - \alpha / \beta}{2 ( \alpha / \beta - 1)}$.
Углы $\alpha$ в $\beta$ являются соответственно углами падения и преломления световых лучей на границе «воздух — вода». Для малых углов $\alpha$ и $\beta$ $\alpha/ \beta \approx \sin \alpha / \sin \beta = n$. Отсюда
$a = R \frac{2-n}{2(n-1)}$.
Подставив значение показателя преломления $n=4/3$, получаем
$a=R$.
Следовательно, фокус шарового аквариума с водой находится на расстоянии $R$ от его поверхности или на расстоянии $2R$ от его центра.
Рассматривая изображение рыбки в плоском зеркале как действительный объект, найдем его изображение после прохождения лучя через аквариум.
Для нахождения положения изображения точки $B_{1}$ выберем два луча, один из которых проходит через центр О сферы, второй — через фокус $F$ на прямой OA (рис.). Луч 1 пройдет через аквариум без изменения направления, луч 2 после прохождения аквариума пойдет параллельно прямой ОА. Изображение точки $B_{1}$ получится в точке $B_{3}$ пересечения этих лучей.
Используя рис., можно установить соотношение между действительным перемещением АВ рыбки в аквариуме и перемещением $A_{3}B_{3}$ ее изображения перед аквариумом.
При отражении в плоском зеркале выполняется равенство
$A_{1}B_{1} = AB$.
Из подобия треугольников $F A_{2}B_{2}$ и $FA_{1}B_{1}$ следует
$A_{2}B_{2}/A_{1}B_{1} = R / 3R = 1/3$,
$A_{2}B_{2} = A_{1}B_{1} = AB/3$.
Расчеты, аналогичные проведенным для первого случая, показывают, что
$A_{3}B_{3}/A_{2}B_{2} = 2$, следовательно, $A_{3}B_{3} = 2A_{2}B_{2} = 2/3 AB$.
Таким образом, скорость второго изображения рыбки
$v_{2} = A_{3}B_{3}/ \Delta t = 2/3(v \Delta t / \Delta t) = 2/3 v$
направлена в сторону, противоположную направлению скорости рыбки:
$v_{2} = - 2/3 v$.
Относительная скорость, с которой будут расходиться два изображения рыбки, равна:
$V_{отн} = v_{1} - v_{2}$,
$v_{отн} = 2v + 2/3v = 8/3v$.
Перед вертикально расположенным плоским зеркалом находится наполненный водой аквариум шарообразной формы из тонкого стекла. Радиус аквариума $R$, расстояние между его центром и зеркалом составляет $3R$. Наблюдатель, находящийся на большом расстоянии от аквариума и зеркала, смотрит по направлению, проходящему через центр аквариума, перпендикулярно зеркалу. В диаметрально противоположной от наблюдателя точке аквариума находится маленькая рыбка, которая начинает перемещаться вдоль стенки аквариума со скоростью $v$. С какой относительной скоростью $v_{отн}$ будут расходиться изображения рыбки, видимые наблюдателем? Показатель преломления воды $n=4/3$.
Решение:
При рассматривании рыбки будут видны два ее изображения. Первое изображение получается в результате прохождения световые лучей от рыбки к наблюдателю через одну преломляющую поверхности «вода — воздух» (преломлением в стекле по условию задачи пренебрегаем). Второе изображение получается в результате прохождения через аквариум световых лучей, отраженных плоским зеркалом. В этом случае аквариум можно считать шаровой линзой, через которую рассматривается изображение рыбки, даваемое плоским зеркалом. Найдем скорости перемещения первого изображения. Пусть рыбка за малый интервал времени $\Delta t$ переместилась вдоль стенки аквариума из точки А в точки В (рис.). Найдем перемещение ее изображения. Для этого найдем положение изображения рыбки.
Выберем луч 1 света, выходящий из точки В и проходящий через центр O сферического аквариума. Этот луч выйдет из аквариума без преломления. Луч 2 — это такой луч, который после преломления на границе «аквариум — воздух» идет параллельно прямой, проходящем через точки О и А. Когда рыбка находится в точке В, ее изображение находится на пересечении продолжений лучей 1 и 2 в точке $B_{1}$. Найдем скорость $v_{1}$ перемещения изображения рыбки из точки $A_{1}$ в точку $B_{1}$:
$v_{1} = A_{1} B_{1}/ \Delta t$.
Перемещение $A_{1}B_{1}$ изображения можно выразить через действительное перемещение АВ рыбки и затем через ее действительную скорость $v$:
$v=AB/ \Delta t, v_{1}/v = A_{1}B_{1}/AB$.
Для малых углов $\phi$ и $\alpha$ из рис. следует, что $AB \approx R \phi, A_{1}B_{1} = DC \approx R \alpha$, где $R$ — радиус сферического аквариума. Следовательно,
$v_{1}/v = A_{1}B_{1}/AB = \alpha / \phi$.
как видно из рис., угол $\gamma = 180^{ \circ} - 2 \beta = 180^{ \circ} - \alpha - \phi$. Отсюда следует, что $|phi = 2 \beta - \alpha$ и
$\frac{v_{1}}{v} = \frac{ \alpha}{2 \beta - \alpha} = \frac{ \alpha / \beta}{2 - \alpha / \beta}$.
Для малых углов $\alpha$ и $\beta$ $\alpha / \beta \approx \sin \alpha / \sin \beta = n$, откуда
$\frac{v_{1}}{v} = \frac{n}{2-n}$.
При $n=4/3$ получаем $v_{1}/v = 2$, т. е. $v_{1}=2v$, вектор $v_{1}$ скорости перемещения изображения рыбки направлен в ту же сторону, что и вектор скорости $v$ рыбки.
Найдем теперь скорость $v_{2}$ перемещения второго изображения. Сначала определим фокусное расстояние аквариума как шаровой линзы.
Рассмотрим ход произвольного луча света, проходящего на небольшом расстоянии от центра О сферического аквариума (рис.). После преломления на двух границах раздела «воздух — вода» (в точке C) и «вода — воздух» (в точке А) луч отклоняется от первоначального направления распространения и пересекает прямую, проходящую через центр О и параллельную первоначальному направлению луча в некоторой точке F. Найдем расстояние BF, которое обозначим $a (BF = a$).
Для малых углов $\gamma$ и $\delta$ можно записать приближенные равенства
$AB \approx BF \cdot \delta$ и $AB \approx OB \cdot \gamma$.
Так как $OB \approx R$, из этих равенств следует
$a \delta = R \gamma$, или $a = R \gamma / \delta$.
Остается выразить $a$ через величины углов $\gamma$ и $\delta$. Для углов $\triangle AOF$ можно записать равенство
$\delta = \alpha - \gamma$.
Так как угол $\gamma = 2 \beta - \alpha$, получим
$\delta = 2 \alpha - 2 \beta$.
Подставляя полученные значения для углов $\gamma$ и $\delta$ в выражение для $a$, находим
$a = R \frac{2 \beta - \alpha}{2 \alpha - 2 \beta} = R \frac{2 - \alpha / \beta}{2 ( \alpha / \beta - 1)}$.
Углы $\alpha$ в $\beta$ являются соответственно углами падения и преломления световых лучей на границе «воздух — вода». Для малых углов $\alpha$ и $\beta$ $\alpha/ \beta \approx \sin \alpha / \sin \beta = n$. Отсюда
$a = R \frac{2-n}{2(n-1)}$.
Подставив значение показателя преломления $n=4/3$, получаем
$a=R$.
Следовательно, фокус шарового аквариума с водой находится на расстоянии $R$ от его поверхности или на расстоянии $2R$ от его центра.
Рассматривая изображение рыбки в плоском зеркале как действительный объект, найдем его изображение после прохождения лучя через аквариум.
Для нахождения положения изображения точки $B_{1}$ выберем два луча, один из которых проходит через центр О сферы, второй — через фокус $F$ на прямой OA (рис.). Луч 1 пройдет через аквариум без изменения направления, луч 2 после прохождения аквариума пойдет параллельно прямой ОА. Изображение точки $B_{1}$ получится в точке $B_{3}$ пересечения этих лучей.
Используя рис., можно установить соотношение между действительным перемещением АВ рыбки в аквариуме и перемещением $A_{3}B_{3}$ ее изображения перед аквариумом.
При отражении в плоском зеркале выполняется равенство
$A_{1}B_{1} = AB$.
Из подобия треугольников $F A_{2}B_{2}$ и $FA_{1}B_{1}$ следует
$A_{2}B_{2}/A_{1}B_{1} = R / 3R = 1/3$,
$A_{2}B_{2} = A_{1}B_{1} = AB/3$.
Расчеты, аналогичные проведенным для первого случая, показывают, что
$A_{3}B_{3}/A_{2}B_{2} = 2$, следовательно, $A_{3}B_{3} = 2A_{2}B_{2} = 2/3 AB$.
Таким образом, скорость второго изображения рыбки
$v_{2} = A_{3}B_{3}/ \Delta t = 2/3(v \Delta t / \Delta t) = 2/3 v$
направлена в сторону, противоположную направлению скорости рыбки:
$v_{2} = - 2/3 v$.
Относительная скорость, с которой будут расходиться два изображения рыбки, равна:
$V_{отн} = v_{1} - v_{2}$,
$v_{отн} = 2v + 2/3v = 8/3v$.
