Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2392
2017-03-16 
Гладкий клин массой $M$, находящийся на идеально гладкой горизонтальной плоскости, имеет треугольное сечение с углами при основании $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$. На клине находятся два гладких груза с массами $m_{1}$ и $m_{2}$, связанные между собой нерастяжимой нитью, которая перекинута через маленький блок, прикрепленный к вершине клина. Первоначально вся система покоится.
С каким ускорением $a_{0}$ будет скользить клин, если систему предоставить «самой себе»? Выразить ускорение грузов по отношению к клину через ускорение клина. При каком соотношении масс грузов $m_{1}$ и $m_{2}$ клин будет неподвижен, а грузы будут скользить по нему? Массами нити и блока пренебречь.
Решение:
Решим задачу, воспользовавшись законами сохранения. Обозначим через $a$ модуль ускорений грузов относительно клина, $a_{0}$ — модуль ускорения самого клина относительно плоскости (рис.). Так как на систему «клин — грузы» не действуют внешние силы в горизонтальном направлении, то сумма проекций импульсов тел, входящих в систему, на горизонтальную ось $Ox$ должна оставаться постоянной величиной. В начальный момент времени система покоится и сумма проекций импульсов тел равна нулю:
$\Sigma p_{x} = 0$,
$m_{1}v_{1x} + m_{2}v_{2x} + Mv_{x} = 0$, (1)
где $v_{1x}, v_{2x}, v_{x}$ — проекции скоростей грузов и клина па ось $Ox$.
Проекции ускорений тел системы на оси $Ox$ и $Oy$:
$a_{1x} = a_{0} - a \cos \alpha_{1}; a_{1y} = - a \sin \alpha_{1}$;
$a_{2x} = a_{0} - a \cos \alpha_{2}; a_{2y} = - a \sin \alpha_{2}$;
$a_{x} = a_{0}$.
Следовательно, через время $t$ после начала движения скорости $v_{1x}, v_{2x}, v_{x}$ будут соответственно равны
$v_{ix} = a_{1x}t, v_{2x} = a_{2x}t, v_{x} = a_{x}t$.
Подставляя эти выражения в уравнение (1), получим
$m_{1} (a_{0} - a \cos \alpha_{1}) + m_{2} (a_{0} - a \cos \alpha_{2}) + Ma_{0} = 0$.
Из последнего уравнения получаем формулу для вычисления ускорения:
$a = a_{0} \frac{M + m_{1} + m_{2}}{m_{1} \cos \alpha_{1} + m_{2} \cos \alpha_{2}}$. (2)
Согласно закону сохранения энергии равны изменения кинетической и потенциальной энергий системы тел «грузы—клин—Земля
$\Delta E_{к} = - \Delta E_{п}$,
или
$\frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2} + \frac{Mv^{2}}{2} = m_{1}gh_{1} - m_{2}gh_{2}$, (3)
где
$v_{1} = \sqrt{ v_{1x}^{2} + v_{1y}^{2}} = \sqrt{ a_{1x}^{2} + a_{1y}^{2}} \cdot t$,
$v_{2} = \sqrt{ v_{2x}^{2} + v_{2y}^{2}} = \sqrt{ a_{2x}^{2} + a_{2y}^{2}} \cdot t$,
$v = a_{0}t$,
$h_{1} = - \frac{a_{1y}t^{2}}{2}, h_{2} = \frac{a_{2y}t^{2}}{2}$.
В результате подстановок из полученных выражений формула (3) примет вид:
$m_{1} [(a_{0} - a \cos \alpha_{1})^{2} + a^{2} \sin^{2} \alpha_{1}] + m_{2} [(a_{0} - a \cos \alpha_{2})^{2} + a^{2} \sin^{2} \alpha_{2}] + Ma_{0}^{2} = m_{1} ga \sin \alpha_{1} - m_{2} ga \sin \alpha_{2}$.
Подставляя в это выражение значение ускорения $a$ из формулы (2), получим
$a_{0} = \frac{(m_{1} \sin \alpha_{1} - m_{2} \sin \alpha_{2})(m_{1} \cos \alpha_{1} + m_{2} \cos \alpha_{2})}{(m_{1} + m_{2} + M)(m_{1} + m_{2}) - (m_{1} \cos \alpha + m_{2} \cos \alpha_{2})^{2}} g$. (4)
При выполнении соотношения $m_{1} \sin \alpha_{1} - m_{2} \sin \alpha_{2} = 0$, т. е. при отношении масс грузов $m_{1}/m_{2} = \sin \alpha_{2} / \sin \alpha_{1}, a_{0} = 0$, а так как $v_{0}=0$, те клин будет неподвижен.
Выражение (2) показывает, что при выполнении этого условия модули ускорения грузов относительно клина будут также равны нулю, т. е. грузы при неподвижном клине могут только равномерно скользить по нему.
Гладкий клин массой $M$, находящийся на идеально гладкой горизонтальной плоскости, имеет треугольное сечение с углами при основании $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$. На клине находятся два гладких груза с массами $m_{1}$ и $m_{2}$, связанные между собой нерастяжимой нитью, которая перекинута через маленький блок, прикрепленный к вершине клина. Первоначально вся система покоится.
С каким ускорением $a_{0}$ будет скользить клин, если систему предоставить «самой себе»? Выразить ускорение грузов по отношению к клину через ускорение клина. При каком соотношении масс грузов $m_{1}$ и $m_{2}$ клин будет неподвижен, а грузы будут скользить по нему? Массами нити и блока пренебречь.
Решение:
Решим задачу, воспользовавшись законами сохранения. Обозначим через $a$ модуль ускорений грузов относительно клина, $a_{0}$ — модуль ускорения самого клина относительно плоскости (рис.). Так как на систему «клин — грузы» не действуют внешние силы в горизонтальном направлении, то сумма проекций импульсов тел, входящих в систему, на горизонтальную ось $Ox$ должна оставаться постоянной величиной. В начальный момент времени система покоится и сумма проекций импульсов тел равна нулю:
$\Sigma p_{x} = 0$,
$m_{1}v_{1x} + m_{2}v_{2x} + Mv_{x} = 0$, (1)
где $v_{1x}, v_{2x}, v_{x}$ — проекции скоростей грузов и клина па ось $Ox$.
Проекции ускорений тел системы на оси $Ox$ и $Oy$:
$a_{1x} = a_{0} - a \cos \alpha_{1}; a_{1y} = - a \sin \alpha_{1}$;
$a_{2x} = a_{0} - a \cos \alpha_{2}; a_{2y} = - a \sin \alpha_{2}$;
$a_{x} = a_{0}$.
Следовательно, через время $t$ после начала движения скорости $v_{1x}, v_{2x}, v_{x}$ будут соответственно равны
$v_{ix} = a_{1x}t, v_{2x} = a_{2x}t, v_{x} = a_{x}t$.
Подставляя эти выражения в уравнение (1), получим
$m_{1} (a_{0} - a \cos \alpha_{1}) + m_{2} (a_{0} - a \cos \alpha_{2}) + Ma_{0} = 0$.
Из последнего уравнения получаем формулу для вычисления ускорения:
$a = a_{0} \frac{M + m_{1} + m_{2}}{m_{1} \cos \alpha_{1} + m_{2} \cos \alpha_{2}}$. (2)
Согласно закону сохранения энергии равны изменения кинетической и потенциальной энергий системы тел «грузы—клин—Земля
$\Delta E_{к} = - \Delta E_{п}$,
или
$\frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2} + \frac{Mv^{2}}{2} = m_{1}gh_{1} - m_{2}gh_{2}$, (3)
где
$v_{1} = \sqrt{ v_{1x}^{2} + v_{1y}^{2}} = \sqrt{ a_{1x}^{2} + a_{1y}^{2}} \cdot t$,
$v_{2} = \sqrt{ v_{2x}^{2} + v_{2y}^{2}} = \sqrt{ a_{2x}^{2} + a_{2y}^{2}} \cdot t$,
$v = a_{0}t$,
$h_{1} = - \frac{a_{1y}t^{2}}{2}, h_{2} = \frac{a_{2y}t^{2}}{2}$.
В результате подстановок из полученных выражений формула (3) примет вид:
$m_{1} [(a_{0} - a \cos \alpha_{1})^{2} + a^{2} \sin^{2} \alpha_{1}] + m_{2} [(a_{0} - a \cos \alpha_{2})^{2} + a^{2} \sin^{2} \alpha_{2}] + Ma_{0}^{2} = m_{1} ga \sin \alpha_{1} - m_{2} ga \sin \alpha_{2}$.
Подставляя в это выражение значение ускорения $a$ из формулы (2), получим
$a_{0} = \frac{(m_{1} \sin \alpha_{1} - m_{2} \sin \alpha_{2})(m_{1} \cos \alpha_{1} + m_{2} \cos \alpha_{2})}{(m_{1} + m_{2} + M)(m_{1} + m_{2}) - (m_{1} \cos \alpha + m_{2} \cos \alpha_{2})^{2}} g$. (4)
При выполнении соотношения $m_{1} \sin \alpha_{1} - m_{2} \sin \alpha_{2} = 0$, т. е. при отношении масс грузов $m_{1}/m_{2} = \sin \alpha_{2} / \sin \alpha_{1}, a_{0} = 0$, а так как $v_{0}=0$, те клин будет неподвижен.
Выражение (2) показывает, что при выполнении этого условия модули ускорения грузов относительно клина будут также равны нулю, т. е. грузы при неподвижном клине могут только равномерно скользить по нему.
