Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2391
2017-03-16 
В телескопе установлено сферическое зеркало, поперечный диаметр которого равен $D=0,5 м$ и радиус кривизны $R=2 м$. В главном фокусе зеркала $(F)$ помещен приемник излучения в виде круглого диска. Диск расположен перпендикулярно оптической оси зеркала (рис.). Каким должен быть радиус $r$ приемника, чтобы он мог принимать весь поток излучения, отраженного зеркалом? Во сколько раз уменьшится поток излучения, принимаемый приемником, если его размеры уменьшить в восемь раз?
Указание. 1) При расчетах для малых значений $\alpha ( \alpha \ll 1)$ можно производить замену $\sqrt{1 - \alpha} \approx 1 - \frac{ \alpha}{2}$; 2) дифракцию не учитывать.
Решение:
Как известно, лучи, параллельные главной оптической осн сферического зеркала и проходящие на небольших расстояниях от нее, после отражения сходятся в главном фокусе зеркала $F$, находящемся на расстоянии $R/2$ от центра О сферической поверхности. Рассмотрим теперь ход луча, отраженного у края сферического зеркала большого диаметра $D$ (рис.). Угол падения $\alpha$ луча на поверхность зеркала равен углу отражения. Поэтому угол ОАВ в треугольнике, образованном радиусом ОА сферы, проведенным в точку падения луча, отраженным лучом АВ н отрезком ВО главной оптической оси, равен $\alpha$. Углы BOA и МАО равны, т. е. угол BOA равен $\alpha$.
Следовательно, треугольник АОВ равнобедренный, сторона АВ в нем равна стороне ВО. Так как сумма длин двух любых сторон в треугольнике больше длины его третьей стороны, $AB + BO > OA = R$, то $BO > R/2$. Это означает, что луч, параллельный главной оптической оси сферического зеркала и проходящий не очень близко от нее, после отражения пересекает главную оптическую ось в точке В, расположенной между фокусом F и зеркалом. Фокальную плоскость этот луч пересекает в точке С, удаленной от главного фокуса на некоторое расстояние $CF=r$.
Таким образом, при отражении параллельного пучка лучей от сферического зеркала конечных размеров он не сходится в фокусе зеркала, а образует в фокальной плоскости пучок радиуса $r$.
Из $\triangle BFC$ записываем:
$r = BF tg \beta = BF tg 2 \alpha$,
где $\alpha$ - максимальный угол падения крайнего луча, падающего на зеркало, причем $\sin \alpha = D/2R$:
$BF = BO - OF = \frac{R}{2 \cos \alpha} - \frac{R}{2} = \frac{R}{2} \frac{1 - \cos \alpha}{ \cos \alpha}$.
Следовательно, $r = \frac{R}{2} \frac{1 - \cos \alpha}{ \cos \alpha} \frac{ \sin 2 \alpha}{ \cos 2 \alpha}$. Выразим значения $\cos \alpha, \sin 2 \alpha, \cos 2 \alpha$ через $\sin \alpha$, учитывая малость угла $\alpha$:
$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^{2} \alpha} \approx 1 - \frac{ \sin^{2} \alpha}{2}$,
$\sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$,
$\cos 2 \alpha = \cos^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha = 1 - 2 \sin^{2} \alpha$.
Тогда
$r = \frac{R}{2} \frac{ \sin^{3} \alpha}{1 - 2 \sin^{2} \alpha} \approx \frac{R}{2} \sin^{3} \alpha \approx \frac{D^{3}}{16R^{2}}$.
Подставляя числовые данные, получим: $r \approx 1,95 \cdot 10^{-3} м \approx 2 мм$.
Из выражения $D = \sqrt[3]{16R^{2}r}$ видно, что, если радиус приемника уменьшить в 8 раз, то поперечный диаметр $D^{ \prime}$ зеркала, с которого падает свет на приемник, уменьшится в 2 раза, а, следовательно, «рабочая» площадь зеркала уменьшится в 4 раза.
Во столько же раз уменьшится поток излучения $\Phi$, попадающий в зеркало и принимаемый приемником, так как $\phi \sim S$.
В телескопе установлено сферическое зеркало, поперечный диаметр которого равен $D=0,5 м$ и радиус кривизны $R=2 м$. В главном фокусе зеркала $(F)$ помещен приемник излучения в виде круглого диска. Диск расположен перпендикулярно оптической оси зеркала (рис.). Каким должен быть радиус $r$ приемника, чтобы он мог принимать весь поток излучения, отраженного зеркалом? Во сколько раз уменьшится поток излучения, принимаемый приемником, если его размеры уменьшить в восемь раз?
Указание. 1) При расчетах для малых значений $\alpha ( \alpha \ll 1)$ можно производить замену $\sqrt{1 - \alpha} \approx 1 - \frac{ \alpha}{2}$; 2) дифракцию не учитывать.
Решение:
Как известно, лучи, параллельные главной оптической осн сферического зеркала и проходящие на небольших расстояниях от нее, после отражения сходятся в главном фокусе зеркала $F$, находящемся на расстоянии $R/2$ от центра О сферической поверхности. Рассмотрим теперь ход луча, отраженного у края сферического зеркала большого диаметра $D$ (рис.). Угол падения $\alpha$ луча на поверхность зеркала равен углу отражения. Поэтому угол ОАВ в треугольнике, образованном радиусом ОА сферы, проведенным в точку падения луча, отраженным лучом АВ н отрезком ВО главной оптической оси, равен $\alpha$. Углы BOA и МАО равны, т. е. угол BOA равен $\alpha$.
Следовательно, треугольник АОВ равнобедренный, сторона АВ в нем равна стороне ВО. Так как сумма длин двух любых сторон в треугольнике больше длины его третьей стороны, $AB + BO > OA = R$, то $BO > R/2$. Это означает, что луч, параллельный главной оптической оси сферического зеркала и проходящий не очень близко от нее, после отражения пересекает главную оптическую ось в точке В, расположенной между фокусом F и зеркалом. Фокальную плоскость этот луч пересекает в точке С, удаленной от главного фокуса на некоторое расстояние $CF=r$.
Таким образом, при отражении параллельного пучка лучей от сферического зеркала конечных размеров он не сходится в фокусе зеркала, а образует в фокальной плоскости пучок радиуса $r$.
Из $\triangle BFC$ записываем:
$r = BF tg \beta = BF tg 2 \alpha$,
где $\alpha$ - максимальный угол падения крайнего луча, падающего на зеркало, причем $\sin \alpha = D/2R$:
$BF = BO - OF = \frac{R}{2 \cos \alpha} - \frac{R}{2} = \frac{R}{2} \frac{1 - \cos \alpha}{ \cos \alpha}$.
Следовательно, $r = \frac{R}{2} \frac{1 - \cos \alpha}{ \cos \alpha} \frac{ \sin 2 \alpha}{ \cos 2 \alpha}$. Выразим значения $\cos \alpha, \sin 2 \alpha, \cos 2 \alpha$ через $\sin \alpha$, учитывая малость угла $\alpha$:
$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^{2} \alpha} \approx 1 - \frac{ \sin^{2} \alpha}{2}$,
$\sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$,
$\cos 2 \alpha = \cos^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha = 1 - 2 \sin^{2} \alpha$.
Тогда
$r = \frac{R}{2} \frac{ \sin^{3} \alpha}{1 - 2 \sin^{2} \alpha} \approx \frac{R}{2} \sin^{3} \alpha \approx \frac{D^{3}}{16R^{2}}$.
Подставляя числовые данные, получим: $r \approx 1,95 \cdot 10^{-3} м \approx 2 мм$.
Из выражения $D = \sqrt[3]{16R^{2}r}$ видно, что, если радиус приемника уменьшить в 8 раз, то поперечный диаметр $D^{ \prime}$ зеркала, с которого падает свет на приемник, уменьшится в 2 раза, а, следовательно, «рабочая» площадь зеркала уменьшится в 4 раза.
Во столько же раз уменьшится поток излучения $\Phi$, попадающий в зеркало и принимаемый приемником, так как $\phi \sim S$.
