Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2390
2017-03-16 
Внутри тонкостенной металлической сферы радиуса $R=20 см$ находится металлический шар радиуса $r = 10 см$, имеющий общий центр со сферой. Шар через отверстие в сфере соединен с помощью очень длинного провода с Землей (рис.). На внешнюю сферу помещен заряд $Q =10^{-8} Кл$. Вычислите потенциал этой сферы, электрическую емкость полученной системы проводящих тел и начертите эквивалентную электрическую схему.
Решение:
Потенциал сферы в случае отсутствия заряда на шаре равен
$\phi_{oc} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{R} = 450 В$.
При соединении шара, находящегося внутри сферы, с Землей потенциал шара равен нулю, между ним и сферой существует электрическое поле, под действием которого на шар с Земли перетечет некоторый заряд заряд $q$. Заряд $Q$, равномерно распределенный на сфере, не создает поля внутри нее, поэтому поле внутри сферы определяется только зарядом шара $q$, и разность потенциалов между шаром и сферой равна
$\Delta \phi = \phi_{ш} - \phi_{с} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{q}{r} - \frac{q}{R} \right )$. (1)
Поле вне сферы такое, как если бы все заряды были расположены в цент ре сферы. Поэтому потенциал сферы $\phi_{с}$ после соединения шара с Землей равен
$\phi_{с} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q+Q}{R}$. (2)
Следовательно, потенциал шара
$\phi_{} = \phi_{} + \Delta \phi = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{q+Q}{R} + \frac{q}{r} - \frac{q}{R} \right ) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{Q}{R} + \frac{q}{r} \right ) = 0$, (3)
откуда следует, что
$q = - Q \frac{r}{R}$. (4)
Подставляя выражение (4) в (2), получим искомое значение для потенциала сферы:
$\phi_{ч} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q- Q \frac{r}{R}}{R} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q(R-r)}{R^{2}} = 225 В$.
Электрическая емкость полученной системы проводящих тел равна
$C = \frac{Q}{ \phi_{c}} = \frac{4 \pi \epsilon_{0} R^{2}}{R-r} = 4,4 \cdot 10^{-11} Ф = 44 пФ$.
Эквивалентная электрическая система состоит из двух параллельно соединенных конденсаторов: 1) сферического с зарядами на обкладках $+q$ и $-q$ и 2) конденсатора «сфера — Земля» с зарядами на обкладках $+(Q-q)$ и $-(Q-q)$ (рис.).
Внутри тонкостенной металлической сферы радиуса $R=20 см$ находится металлический шар радиуса $r = 10 см$, имеющий общий центр со сферой. Шар через отверстие в сфере соединен с помощью очень длинного провода с Землей (рис.). На внешнюю сферу помещен заряд $Q =10^{-8} Кл$. Вычислите потенциал этой сферы, электрическую емкость полученной системы проводящих тел и начертите эквивалентную электрическую схему.
Решение:
Потенциал сферы в случае отсутствия заряда на шаре равен
$\phi_{oc} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{R} = 450 В$.
При соединении шара, находящегося внутри сферы, с Землей потенциал шара равен нулю, между ним и сферой существует электрическое поле, под действием которого на шар с Земли перетечет некоторый заряд заряд $q$. Заряд $Q$, равномерно распределенный на сфере, не создает поля внутри нее, поэтому поле внутри сферы определяется только зарядом шара $q$, и разность потенциалов между шаром и сферой равна
$\Delta \phi = \phi_{ш} - \phi_{с} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{q}{r} - \frac{q}{R} \right )$. (1)
Поле вне сферы такое, как если бы все заряды были расположены в цент ре сферы. Поэтому потенциал сферы $\phi_{с}$ после соединения шара с Землей равен
$\phi_{с} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q+Q}{R}$. (2)
Следовательно, потенциал шара
$\phi_{} = \phi_{} + \Delta \phi = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{q+Q}{R} + \frac{q}{r} - \frac{q}{R} \right ) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{Q}{R} + \frac{q}{r} \right ) = 0$, (3)
откуда следует, что
$q = - Q \frac{r}{R}$. (4)
Подставляя выражение (4) в (2), получим искомое значение для потенциала сферы:
$\phi_{ч} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q- Q \frac{r}{R}}{R} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q(R-r)}{R^{2}} = 225 В$.
Электрическая емкость полученной системы проводящих тел равна
$C = \frac{Q}{ \phi_{c}} = \frac{4 \pi \epsilon_{0} R^{2}}{R-r} = 4,4 \cdot 10^{-11} Ф = 44 пФ$.
Эквивалентная электрическая система состоит из двух параллельно соединенных конденсаторов: 1) сферического с зарядами на обкладках $+q$ и $-q$ и 2) конденсатора «сфера — Земля» с зарядами на обкладках $+(Q-q)$ и $-(Q-q)$ (рис.).
