Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2388
2017-03-16 
Длинный брусок массы $M=1 кг$ находится на гладкой горизонтальной поверхности стола, по которой он может передвигаться без трения. По верхней горизонтальной грани бруска может скользить каретка с мотором, масса которой $m=0,1 кг$. Коэффициент трения каретки $\mu = 0,02$. Мотор с постоянной скоростью $v_{0} = 0,1 м/с$ наматывает на вал нить. Второй конец нити в одном случае привязан к достаточно удаленной неподвижной опоре (рис. а), а в другом—к колышку на краю бруска (рис. б). Удерживая брусок неподвижным, дают возможность каретке начать двигаться со скоростью $v_{0}$, после чего брусок отпускают. К моменту освобождения бруска передний край каретки находится на расстоянии $l = 0,5 м$ от переднего края бруска. Определите для обоих случаев законы движения бруска и каретки и время, в течение которого каретка достигнет переднего края бруска.
Решение:
а) К моменту освобождения бруска каретка имеет скорость $v_{0}$ относительно стола и продолжает движение с этой же скоростью.
Брусок под действием силы трения $F_{тр} = \mu mg$ со стороны каретки приобретает ускорение $a = F_{тр} /M = \mu mg/M; a = 0,02 м/с^{2}$, а скорость бруска изменяется со временем по закону $v_{0} = at$.
Так как брусок не может двигаться быстрее каретки, то в некоторый момент времени $t = t_{0}$ (e проскальзывание прекратится, т. е. $v_{б} = v_{0}$. Определим этот момент времени:
$t_{0} = \frac{v_{0}}{a} = \frac{v_{0}M}{ \mu mg} = 5 с$.
К этому моменту времени перемещения каретки и бруска относительно стола будут соответственно равны:
$S_{к} = v_{0}t_{0} = \frac{v_{0}^{2}M}{ \mu mg}$,
$S_{б} = \frac{at_{0}^{2}}{2} = \frac{v_{0}^{2}M}{2 \mu mg}$.
Перемещение каретки относительно бруска равно
$S = S_{н} - S_{б} = \frac{v_{0}^{2}M}{2 \mu mg} =0,25 м$.
Так как $S < l$, то каретка не достигнет края бруска до тех пор, пока брусок не упрется в неподвижную опору. Расстояние до опоры в условии задачи не указано, поэтому вычислить это время нельзя. Итак, каретка движется равномерно со скоростью $v_{0} = 0,1 м/с$, брусок первые 5 с движется равноускоренно с ускорением $a = 0,02 м/с^{2}$, а затем брусок движется вместе с кареткой равномерно.
б) Так как между бруском и поверхностью стола трения нет, то система тел «брусок — каретка» является замкнутой. Для этой системы можно использовать закон сохранения импульса:
$mv + Mu = mv_{0}$. (1)
где $v$ и $u$ — проекции скоростей каретки и бруска относительно стола на горизонтальную ось, направленную по вектору скорости $v_{0}$. Скорость наматывания нити $v_{0}$ равна скорости каретки относительно бруска $(v - u)$, т. е.
$v_{0} = v - u$. (2)
Решая систему уравнений (1) и (2), получаем:
$u = 0, v = v_{0}$.
Таким образом, после освобождения брусок останется неподвижным относительно стола, а каретка будет двигаться с прежней скоростью $v_{0}$ и достигнет края бруска через время $t$, равное
$t = l/v_{0} =5с$.
Длинный брусок массы $M=1 кг$ находится на гладкой горизонтальной поверхности стола, по которой он может передвигаться без трения. По верхней горизонтальной грани бруска может скользить каретка с мотором, масса которой $m=0,1 кг$. Коэффициент трения каретки $\mu = 0,02$. Мотор с постоянной скоростью $v_{0} = 0,1 м/с$ наматывает на вал нить. Второй конец нити в одном случае привязан к достаточно удаленной неподвижной опоре (рис. а), а в другом—к колышку на краю бруска (рис. б). Удерживая брусок неподвижным, дают возможность каретке начать двигаться со скоростью $v_{0}$, после чего брусок отпускают. К моменту освобождения бруска передний край каретки находится на расстоянии $l = 0,5 м$ от переднего края бруска. Определите для обоих случаев законы движения бруска и каретки и время, в течение которого каретка достигнет переднего края бруска.
Решение:
а) К моменту освобождения бруска каретка имеет скорость $v_{0}$ относительно стола и продолжает движение с этой же скоростью.
Брусок под действием силы трения $F_{тр} = \mu mg$ со стороны каретки приобретает ускорение $a = F_{тр} /M = \mu mg/M; a = 0,02 м/с^{2}$, а скорость бруска изменяется со временем по закону $v_{0} = at$.
Так как брусок не может двигаться быстрее каретки, то в некоторый момент времени $t = t_{0}$ (e проскальзывание прекратится, т. е. $v_{б} = v_{0}$. Определим этот момент времени:
$t_{0} = \frac{v_{0}}{a} = \frac{v_{0}M}{ \mu mg} = 5 с$.
К этому моменту времени перемещения каретки и бруска относительно стола будут соответственно равны:
$S_{к} = v_{0}t_{0} = \frac{v_{0}^{2}M}{ \mu mg}$,
$S_{б} = \frac{at_{0}^{2}}{2} = \frac{v_{0}^{2}M}{2 \mu mg}$.
Перемещение каретки относительно бруска равно
$S = S_{н} - S_{б} = \frac{v_{0}^{2}M}{2 \mu mg} =0,25 м$.
Так как $S < l$, то каретка не достигнет края бруска до тех пор, пока брусок не упрется в неподвижную опору. Расстояние до опоры в условии задачи не указано, поэтому вычислить это время нельзя. Итак, каретка движется равномерно со скоростью $v_{0} = 0,1 м/с$, брусок первые 5 с движется равноускоренно с ускорением $a = 0,02 м/с^{2}$, а затем брусок движется вместе с кареткой равномерно.
б) Так как между бруском и поверхностью стола трения нет, то система тел «брусок — каретка» является замкнутой. Для этой системы можно использовать закон сохранения импульса:
$mv + Mu = mv_{0}$. (1)
где $v$ и $u$ — проекции скоростей каретки и бруска относительно стола на горизонтальную ось, направленную по вектору скорости $v_{0}$. Скорость наматывания нити $v_{0}$ равна скорости каретки относительно бруска $(v - u)$, т. е.
$v_{0} = v - u$. (2)
Решая систему уравнений (1) и (2), получаем:
$u = 0, v = v_{0}$.
Таким образом, после освобождения брусок останется неподвижным относительно стола, а каретка будет двигаться с прежней скоростью $v_{0}$ и достигнет края бруска через время $t$, равное
$t = l/v_{0} =5с$.
