Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2385
2017-03-16 
Медный калориметр массой $m_{1}$ с водой массой $m_{2}$ имеет температуру $T_{1}$. В калориметр кладут лед, масса которого $m_{3}$ и температура $T_{2}$. а) Определите массу и температуру воды и льда после наступления состояния их теплового равновесия при произвольных значениях $m_{1}, m_{2}, m_{3}, T_{1}, T_{2}$. Напишите уравнения теплового баланса системы, б) Определите температуру и массу воды и льда в состоянии теплового равновесия, если $m_{1} = 1 кг, m_{2}=1 кг, m_{3}=2 кг, T_{1}=283 К, T_{2}=253 К$.
Потерями энергии пренебречь. Барометрическое давление считать нормальным. Удельная теплоемкость меди $c_{1} = 0,39 кДж/(кг \cdot К)$, воды $c_{2}=4,2 кДж/(кг \cdot К)$, льда $c_{3} = 2,1 кДж/(кг \cdot К)$, удельная теплота плавления льда $\lambda = 330 кДж/кг$.
Решение:
а) Для решения задачи прежде всего нужно определить, произойдет ли при установлении теплового равновесия таяние льда или замерзание воды. Если количество теплоты $Q_{1}$, выделяющееся при остывании калориметра и воды до $T_{0}=273 К$, больше количества теплоты $Q_{2}$, необходимого для нагревания льда до $T_{0} = 273 К ( Q_{1} > Q_{2})$, то произойдет таяние части или всего льда. Если $Q_{1} < Q_{2}$, то произойдет замерзание части или всей воды. В случае $Q_{1} = Q_{2}$ при температуре $T_{0}$ установится тепловое равновесие при неизменных значениях массы воды и льда.
Рассмотрим возможные варианты.
1) Для случая $Q_{1} < Q_{2}$, т. е.
$(c_{1}n_{1} + c_{2}m_{2})(T_{1} - T_{0}) < c_{3}m_{3}(T_{0} - T_{2})$,
найдем сначала массу $\Delta m_{2}$ замерзшей воды. Составим уравнение теплового баланса
$Q_{1} - Q_{2} = \lambda \Delta m_{2}$.
Если при вычислении масса
$\Delta m_{2} = \frac{Q_{1} - Q_{2}}{ \lambda}$
замерзшей воды окажется больше массы всей воды ($\Delta m_{2} > m_{2}$), то это означает, что вся вода в калориметре замерзла н охладилась до температуры $T_{3} < T_{0}$. В этом случае масса $m_{4}$ льда в калориметре равна $m_{4} = m_{2} + m_{3}$, масса $m_{5}$ воды равна нулю: $m_{5}=0$, а температура $T_{3}$ льда и калориметра определяется из уравнения теплового баланса
$c_{1}m_{1} (T_{1}- T_{3}) + c_{2}m_{2} (T_{1} - T_{0}) + c_{3}m_{2} (T_{0} - T_{3}) + \lambda m_{2} = c_{3}m_{3} (T_{3} - T_{2})$.
Из этого уравнения получаем выражение для нахождения температуры $T_{3}$ в состоянии теплового равновесия:
$T_{3} = \frac{c_{1}m_{1}T_{1} + c_{2}m_{2}(T_{1} - T_{0}) + c_{3}m_{2}T_{0} + \lambda m_{2} + c_{3} m_{3} T_{2}}{c_{1}m_{1} + c_{3}m_{2}+ c_{3}m_{3}}$.
Если $\Delta m_{2} \leq m_{2}$, то температура $T_{3} = T_{0}$.
2) Для случая $Q_{1} > Q_{2}$ найдем массу $\Delta m_{3}$ растаявшего льда. Составим уравнение теплового баланса
$Q_{2} - Q_{1} = \lambda \Delta m_{3}$.
Если при вычислении масса
$\Delta m_{3} = \frac{Q_{2} - Q_{1}}{ \lambda}$
растаявшего льда окажется больше массы всего льда ($\Delta m_{3} > m_{3}$), то это означает, что весь лед в калориметре растаял и вода после таяния льда нагрелась до температуры $T_{3} > T_{0}$. В этом случае масса $m_{5}$ воды в калориметре равна $m_{5} = m_{2} + m_{3}$, масса $m_{4}$ льда равна нулю: $m_{4} = 0$, а температура $T_{3}$ воды и калориметра определяется из уравнения теплового баланса
$c_{1}m_{1} (T_{1} - T_{3}) + c_{2}m_{2}(T_{1} - T_{3}) = \lambda m_{3} + c_{3} m_{3} (T_{0} - T_{2}) + c_{2}m_{2} (T_{3} - T_{0})$.
Тогда температура $T_{3}$ в состоянии теплового равновесия равна
$T_{3} = \frac{c_{1}m_{1}T_{1} + c_{2}m_{2}T_{2} - \lambda m_{3} + c_{3}m_{3}(T_{0} - T_{2}) + c_{2} m_{3} T_{0}}{c_{1}m_{1} + c_{2}m_{2}+ c_{2}m_{3}}$.
Если $\Delta m_{3} < m_{3}$, то $T_{3} = T_{0}$.
б) Используя числовые значения, сравним количества теплоты
$Q_{1} = 4,59 \cdot 10^{4} Дж$ и $Q_{2} = 8,4 \cdot 10^{4} Дж$.
Так как $Q_{2} > Q_{1}$ часть воды замерзнет. Найдем массу замерзшей води:
$\Delta m_{2} = \frac{Q_{2} - Q_{1}}{ \lambda} \approx 0,115 кг$.
Следовательно, масса $m_{5}$ воды в калориметре стала равной $m_{5} = m_{2} - \Delta m_{2} = 0,885 кг$, а масса $m_{4}$ льда равна $m_{4} = m_{3} + \Delta m_{2} = 2,115 кг$. Температура $T_{3}$ воды и льда в калориметре равна $0^{ \circ} С$.
Медный калориметр массой $m_{1}$ с водой массой $m_{2}$ имеет температуру $T_{1}$. В калориметр кладут лед, масса которого $m_{3}$ и температура $T_{2}$. а) Определите массу и температуру воды и льда после наступления состояния их теплового равновесия при произвольных значениях $m_{1}, m_{2}, m_{3}, T_{1}, T_{2}$. Напишите уравнения теплового баланса системы, б) Определите температуру и массу воды и льда в состоянии теплового равновесия, если $m_{1} = 1 кг, m_{2}=1 кг, m_{3}=2 кг, T_{1}=283 К, T_{2}=253 К$.
Потерями энергии пренебречь. Барометрическое давление считать нормальным. Удельная теплоемкость меди $c_{1} = 0,39 кДж/(кг \cdot К)$, воды $c_{2}=4,2 кДж/(кг \cdot К)$, льда $c_{3} = 2,1 кДж/(кг \cdot К)$, удельная теплота плавления льда $\lambda = 330 кДж/кг$.
Решение:
а) Для решения задачи прежде всего нужно определить, произойдет ли при установлении теплового равновесия таяние льда или замерзание воды. Если количество теплоты $Q_{1}$, выделяющееся при остывании калориметра и воды до $T_{0}=273 К$, больше количества теплоты $Q_{2}$, необходимого для нагревания льда до $T_{0} = 273 К ( Q_{1} > Q_{2})$, то произойдет таяние части или всего льда. Если $Q_{1} < Q_{2}$, то произойдет замерзание части или всей воды. В случае $Q_{1} = Q_{2}$ при температуре $T_{0}$ установится тепловое равновесие при неизменных значениях массы воды и льда.
Рассмотрим возможные варианты.
1) Для случая $Q_{1} < Q_{2}$, т. е.
$(c_{1}n_{1} + c_{2}m_{2})(T_{1} - T_{0}) < c_{3}m_{3}(T_{0} - T_{2})$,
найдем сначала массу $\Delta m_{2}$ замерзшей воды. Составим уравнение теплового баланса
$Q_{1} - Q_{2} = \lambda \Delta m_{2}$.
Если при вычислении масса
$\Delta m_{2} = \frac{Q_{1} - Q_{2}}{ \lambda}$
замерзшей воды окажется больше массы всей воды ($\Delta m_{2} > m_{2}$), то это означает, что вся вода в калориметре замерзла н охладилась до температуры $T_{3} < T_{0}$. В этом случае масса $m_{4}$ льда в калориметре равна $m_{4} = m_{2} + m_{3}$, масса $m_{5}$ воды равна нулю: $m_{5}=0$, а температура $T_{3}$ льда и калориметра определяется из уравнения теплового баланса
$c_{1}m_{1} (T_{1}- T_{3}) + c_{2}m_{2} (T_{1} - T_{0}) + c_{3}m_{2} (T_{0} - T_{3}) + \lambda m_{2} = c_{3}m_{3} (T_{3} - T_{2})$.
Из этого уравнения получаем выражение для нахождения температуры $T_{3}$ в состоянии теплового равновесия:
$T_{3} = \frac{c_{1}m_{1}T_{1} + c_{2}m_{2}(T_{1} - T_{0}) + c_{3}m_{2}T_{0} + \lambda m_{2} + c_{3} m_{3} T_{2}}{c_{1}m_{1} + c_{3}m_{2}+ c_{3}m_{3}}$.
Если $\Delta m_{2} \leq m_{2}$, то температура $T_{3} = T_{0}$.
2) Для случая $Q_{1} > Q_{2}$ найдем массу $\Delta m_{3}$ растаявшего льда. Составим уравнение теплового баланса
$Q_{2} - Q_{1} = \lambda \Delta m_{3}$.
Если при вычислении масса
$\Delta m_{3} = \frac{Q_{2} - Q_{1}}{ \lambda}$
растаявшего льда окажется больше массы всего льда ($\Delta m_{3} > m_{3}$), то это означает, что весь лед в калориметре растаял и вода после таяния льда нагрелась до температуры $T_{3} > T_{0}$. В этом случае масса $m_{5}$ воды в калориметре равна $m_{5} = m_{2} + m_{3}$, масса $m_{4}$ льда равна нулю: $m_{4} = 0$, а температура $T_{3}$ воды и калориметра определяется из уравнения теплового баланса
$c_{1}m_{1} (T_{1} - T_{3}) + c_{2}m_{2}(T_{1} - T_{3}) = \lambda m_{3} + c_{3} m_{3} (T_{0} - T_{2}) + c_{2}m_{2} (T_{3} - T_{0})$.
Тогда температура $T_{3}$ в состоянии теплового равновесия равна
$T_{3} = \frac{c_{1}m_{1}T_{1} + c_{2}m_{2}T_{2} - \lambda m_{3} + c_{3}m_{3}(T_{0} - T_{2}) + c_{2} m_{3} T_{0}}{c_{1}m_{1} + c_{2}m_{2}+ c_{2}m_{3}}$.
Если $\Delta m_{3} < m_{3}$, то $T_{3} = T_{0}$.
б) Используя числовые значения, сравним количества теплоты
$Q_{1} = 4,59 \cdot 10^{4} Дж$ и $Q_{2} = 8,4 \cdot 10^{4} Дж$.
Так как $Q_{2} > Q_{1}$ часть воды замерзнет. Найдем массу замерзшей води:
$\Delta m_{2} = \frac{Q_{2} - Q_{1}}{ \lambda} \approx 0,115 кг$.
Следовательно, масса $m_{5}$ воды в калориметре стала равной $m_{5} = m_{2} - \Delta m_{2} = 0,885 кг$, а масса $m_{4}$ льда равна $m_{4} = m_{3} + \Delta m_{2} = 2,115 кг$. Температура $T_{3}$ воды и льда в калориметре равна $0^{ \circ} С$.
