ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-03-16   
Вычислите сопротивление между точками А и В бесконечной у электрической цепи, показанной , на рис. если все сопротивления в этой цепи одинаковы и равны $r$.



Решение:



рис.1

рис.2
Обозначим сопротивление между точками А и В для $n$ звеньев $R_{n}$, а для $(n + 1)$ звеньев — $R_{n+1}$. Тогда

$R_{n+1} = r + \frac{rR_{n}}{r + R_{n}}$.

Сопротивление одного звена $R_{1} = 2r$. Очевидно, что $r \leq R_{n} \leq 2r$ и $R_{n+1} < R_{n}$ для любых $n$. так как при подключении нового звена сопротивление между точками подключения падает.

Итак, последовательность $R_{n}$ монотонно убывает и ограничена снизу: $R_{n} \geq r$. Обозначим сопротивление всей цепи $r_{x}$. Так как цепь бесконечная, то сопротивление цепи за точками $A^{ \prime}B^{ \prime}$ (рис. 1) тоже равно $r_{x}$. Следовательно, вся цепь эквивалентна схеме, представленной на рис. 2. Ее сопротивление равно

$r_{AB} = r_{x} = r + \frac{rr_{x}}{r + r_{x}} , r_{x}^{2} - rr_{x} - r^{2} = 0, r_{x} = \frac{r \pm \sqrt{r^{2} + 4r^{2}}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} r$.

Так как $r_{x} > 0$, то один корень не имеет физического смысла, т.е.

$r_{x} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} r \approx 1,62 r$.