Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2377
2017-03-16 
На подставке высотой $h=5 м$ лежит шар массой $M=200 г$. Пуля массой $m=10 г$, летящая в горизонтальном направлении со скоростью $v=500 м/с$, пробивает шар точно по диаметру, а) На каком расстоянии $L$ упадет на землю пуля, если шар падает на землю на расстоянии $l=20 м$ от основания подставки? б) Какая часть $\alpha$ кинетической энергии пули переходит во внутреннюю энергию при пробивании пулей шара? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
а) Обозначив через $v_{1}$ и $v_{2}$ модули скоростей пули и шара соответственно после вылета пули из шара (рис.}, запишем кинетические уравнения движения пули и шара:
$L = v_{1}t$, (1)
$l = v_{2}t$, (2)
$y = h - gt^{2}/2$. (3)
Время $t$ падения шара и пули находим из выражения (3): $l = \sqrt{2h/g}$, так как $y = 0$.
Для проекций импульсов на горизонтальную ось, направлен по вектору $v_{1}$, на основании закона сохранения импульса можно записать уравнение
$mv = mv_{1} + Mv_{2}$,
из которого следует, что
$v_{1} = v - \frac{M}{m} v_{2}$. (4)
Подставляя из (2) в (4) величину $v_{2} = l/t$, получим
$v_{1} = v - \frac{M}{m} \frac{l}{t}$. (5)
Подставляя (5) в (1), получим
$L = v \sqrt{ \frac{2h}{g}} - \frac{M}{m} \cdot l; L = 100 м$.
б) Для того чтобы найти $\alpha$, воспользуемся законом сохранения энергии
$\frac{mv^{2}}{2} = \frac{mv_{1}^{2}}{2} + \frac{Mv_{2}^{2}}{2} + \Delta U$. (6)
По условию задачи изменение внутренней энергии тел $\Delta U$ связано с кинетической энергией пули соотношением
$\Delta U = \alpha \frac{mv^{2}}{2}$.
Отсюда следует, что
$\alpha = 1 - \frac{v_{1}^{2}}{v^{2}} - \frac{M}{m} \frac{v_{2}^{2}}{v^{2}}$. (7)
Подставляя найденные ранее значения $v_{1}$ и $v_{2}$, получим
$\alpha = 1 \frac{ \left ( v - \frac{M}{m} l \sqrt{g/2h} \right )^{2} }{v^{2}} - \frac{M (l \sqrt{ g / 2h})^{2}}{mv^{2}}$. (8)
Подстановка числовых данных приводит к результату $\alpha = 0,928$, или $\alpha \approx 93%$.
Примечание. Приведенное выше решение справедливо лишь при условии отсутствия трения между шаром и подставкой и отрыве I шара от подставки без вращения на ее краю. При отсутствии трения шар начнет вращаться на краю подставки, если не будет выполнено условие $v_{2}^{2}/R \geq g$. Это условие можно вывести, записав выражения второго закона Ньютона и закона сохранения энергии для шара в момент отрыва при его скатывании с подставки:
$\frac{mv_{3}^{2}}{R} = mg \cos \alpha; \frac{mv_{3}^{2}}{2} = \frac{mv_{2}^{2}}{2} + mg \Delta h$,
где $v_{3}$ — скорость шара в момент отрыва, $\Delta h = R(1 - \cos \alpha)$ — расстояние, на которое опускается центр шара до момента отрыва, $|alpha$ — угол между вертикалью и направлением на центр шара в момент его отрыва.
Из полученных уравнений следует, что $\cos \alpha = 1/3 (2 + v_{2}^{2}/gR)$, откуда $v_{2}^{2}/gR \gg 1$
Для отрыва шара массой 0,2 кг, изготовленного, например, из алюминия $(R \approx 0,026 м), v_{2}^{2}/gR = 1500 \gg 1$, т. е. отрыв шара от подставки произойдет сразу.
На подставке высотой $h=5 м$ лежит шар массой $M=200 г$. Пуля массой $m=10 г$, летящая в горизонтальном направлении со скоростью $v=500 м/с$, пробивает шар точно по диаметру, а) На каком расстоянии $L$ упадет на землю пуля, если шар падает на землю на расстоянии $l=20 м$ от основания подставки? б) Какая часть $\alpha$ кинетической энергии пули переходит во внутреннюю энергию при пробивании пулей шара? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
а) Обозначив через $v_{1}$ и $v_{2}$ модули скоростей пули и шара соответственно после вылета пули из шара (рис.}, запишем кинетические уравнения движения пули и шара:
$L = v_{1}t$, (1)
$l = v_{2}t$, (2)
$y = h - gt^{2}/2$. (3)
Время $t$ падения шара и пули находим из выражения (3): $l = \sqrt{2h/g}$, так как $y = 0$.
Для проекций импульсов на горизонтальную ось, направлен по вектору $v_{1}$, на основании закона сохранения импульса можно записать уравнение
$mv = mv_{1} + Mv_{2}$,
из которого следует, что
$v_{1} = v - \frac{M}{m} v_{2}$. (4)
Подставляя из (2) в (4) величину $v_{2} = l/t$, получим
$v_{1} = v - \frac{M}{m} \frac{l}{t}$. (5)
Подставляя (5) в (1), получим
$L = v \sqrt{ \frac{2h}{g}} - \frac{M}{m} \cdot l; L = 100 м$.
б) Для того чтобы найти $\alpha$, воспользуемся законом сохранения энергии
$\frac{mv^{2}}{2} = \frac{mv_{1}^{2}}{2} + \frac{Mv_{2}^{2}}{2} + \Delta U$. (6)
По условию задачи изменение внутренней энергии тел $\Delta U$ связано с кинетической энергией пули соотношением
$\Delta U = \alpha \frac{mv^{2}}{2}$.
Отсюда следует, что
$\alpha = 1 - \frac{v_{1}^{2}}{v^{2}} - \frac{M}{m} \frac{v_{2}^{2}}{v^{2}}$. (7)
Подставляя найденные ранее значения $v_{1}$ и $v_{2}$, получим
$\alpha = 1 \frac{ \left ( v - \frac{M}{m} l \sqrt{g/2h} \right )^{2} }{v^{2}} - \frac{M (l \sqrt{ g / 2h})^{2}}{mv^{2}}$. (8)
Подстановка числовых данных приводит к результату $\alpha = 0,928$, или $\alpha \approx 93%$.
Примечание. Приведенное выше решение справедливо лишь при условии отсутствия трения между шаром и подставкой и отрыве I шара от подставки без вращения на ее краю. При отсутствии трения шар начнет вращаться на краю подставки, если не будет выполнено условие $v_{2}^{2}/R \geq g$. Это условие можно вывести, записав выражения второго закона Ньютона и закона сохранения энергии для шара в момент отрыва при его скатывании с подставки:
$\frac{mv_{3}^{2}}{R} = mg \cos \alpha; \frac{mv_{3}^{2}}{2} = \frac{mv_{2}^{2}}{2} + mg \Delta h$,
где $v_{3}$ — скорость шара в момент отрыва, $\Delta h = R(1 - \cos \alpha)$ — расстояние, на которое опускается центр шара до момента отрыва, $|alpha$ — угол между вертикалью и направлением на центр шара в момент его отрыва.
Из полученных уравнений следует, что $\cos \alpha = 1/3 (2 + v_{2}^{2}/gR)$, откуда $v_{2}^{2}/gR \gg 1$
Для отрыва шара массой 0,2 кг, изготовленного, например, из алюминия $(R \approx 0,026 м), v_{2}^{2}/gR = 1500 \gg 1$, т. е. отрыв шара от подставки произойдет сразу.
