Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2376
2017-03-12 
В электрической цепи с мостиком Уитстона, изображенной на рис., после установления всех токов размыкает клюа К. Определите, при какой величине сопротивлений $R_{1}$ через микроампертметр с внутренним сопротивлением $r$ после размыкания ключа К протечет наибольший заряд $Q$. Все остальные параметры электрической цепи, указанные на рисунке, считать заданными. Внутренним сопротивлением источника напряжения и сопротивлением соединительных проводов пренебречь.
Решение:
Перед размыканием ключа К в установившемся режиме через катушку $L$ течет постоянный ток
$I_{L1} = \mathcal{E} /(R + R_{1})$.
Пусть после размыкания ключа К в произвольный момент времени в цепи текут токи, изображенные на рисунке.
По правилам Кирхгофа можно записать систему уравнений:
$I_{L} = I_{r} + I_{1}$,
$2I_{1} R_{1} - I_{r} r = 0$,
$L \frac{2 I_{L}}{dt} + 2I_{L}R + I_{r}r = 0$.
Из (1) и (2) найдем, что $I_{L} = I_{r}(r + 2R_{1})/(2R_{1})$. После подстановки этого выражения в (3) получим:
$\frac{dI_{L}}{dt} = - \frac{rR + R_{1} (2R+r)}{LR_{1}} I_{r}$
Заряд, протекший через микроамперметр, за время $dt$:
$dQ = - \frac{LR_{1}}{rR + R_{1} (2R+r)} dI_{L}$.
Поскольку конечный ток через катушку $I_{L2} = 0$, то полное изменение тока равно $- \mathcal{E}/(R_{1} + R)$, а полный заряд равен
$Q = \frac{ \mathcal{E} L}{2R (R+r) + (2R+r)R_{1} + rR^{2}/R_{1}}$.
$Q$ достигает максимального значения, когда $(2R + r)R_{1} + rR^{2}/r_{1}$ минимально. А это имеет место при $(2R + r)R_{1} = rR^{2}/R_{1}$. Это можно получить, продифференцировав знаменатель выражения для $Q$ по $R_{1}$ и приравняв производную нулю.
Ответ: $R_{1} = R \sqrt{ \frac{r}{r+2R}}$.
В электрической цепи с мостиком Уитстона, изображенной на рис., после установления всех токов размыкает клюа К. Определите, при какой величине сопротивлений $R_{1}$ через микроампертметр с внутренним сопротивлением $r$ после размыкания ключа К протечет наибольший заряд $Q$. Все остальные параметры электрической цепи, указанные на рисунке, считать заданными. Внутренним сопротивлением источника напряжения и сопротивлением соединительных проводов пренебречь.
Решение:
Перед размыканием ключа К в установившемся режиме через катушку $L$ течет постоянный ток
$I_{L1} = \mathcal{E} /(R + R_{1})$.
Пусть после размыкания ключа К в произвольный момент времени в цепи текут токи, изображенные на рисунке.
По правилам Кирхгофа можно записать систему уравнений:
$I_{L} = I_{r} + I_{1}$,
$2I_{1} R_{1} - I_{r} r = 0$,
$L \frac{2 I_{L}}{dt} + 2I_{L}R + I_{r}r = 0$.
Из (1) и (2) найдем, что $I_{L} = I_{r}(r + 2R_{1})/(2R_{1})$. После подстановки этого выражения в (3) получим:
$\frac{dI_{L}}{dt} = - \frac{rR + R_{1} (2R+r)}{LR_{1}} I_{r}$
Заряд, протекший через микроамперметр, за время $dt$:
$dQ = - \frac{LR_{1}}{rR + R_{1} (2R+r)} dI_{L}$.
Поскольку конечный ток через катушку $I_{L2} = 0$, то полное изменение тока равно $- \mathcal{E}/(R_{1} + R)$, а полный заряд равен
$Q = \frac{ \mathcal{E} L}{2R (R+r) + (2R+r)R_{1} + rR^{2}/R_{1}}$.
$Q$ достигает максимального значения, когда $(2R + r)R_{1} + rR^{2}/r_{1}$ минимально. А это имеет место при $(2R + r)R_{1} = rR^{2}/R_{1}$. Это можно получить, продифференцировав знаменатель выражения для $Q$ по $R_{1}$ и приравняв производную нулю.
Ответ: $R_{1} = R \sqrt{ \frac{r}{r+2R}}$.
