Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2374
2017-03-12 
К двум точкам A и B, находящимся на одной горизонтали, между которыми расстояние $2a$, прикреплена тонкая легкая нерастяжимая нить длиной $2l$ (рис. 1). По нити без трения скользит маленькая тяжелая бусинка. Ускорение свободного падения $g$.
1. Найдите частоту малых колебаний бусинки $\omega_{ \perp}$ в плоскости, перпендикулярной отрезку, соединяющему точки крепления нити.
2. Найдите частоту малых колебаний бусинки $\omega_{ \parallel}$ в вертикальной плоскости, проходящей через точки крепления нити.
3. При каком отношении $l/a$ траектория движения бусинки в проекции на горизонтальную плоскость может иметь следующий вид (рис. 2)?
Примечание. При решении задачи Вам может оказаться полезной формула $(1 + x)^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} x^{2} + \cdots$ при $x \ll 1$.
рис.1
рис.2
Решение:
1. В первом случае происходят колебания математического маятника с длиной подвеса $b = \sqrt{ l^{2} - a^{2}}$:
$\omega_{ \perp}^{2} = \frac{g}{ \sqrt{ l^{2} - a^{2}}}$.
2. Так как нить нерастяжимая, то $AC + CBВ = 2l$. Следовательно во втором случае бусинка С движется по эллипсу с фокусами А и В. Длина малой полуоси $b = \sqrt{ l^{2} - a^{2}}$, большой полуоси — $l$. Уравнение эллипса:
$\frac{x^{2}}{l^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, y = - b \sqrt{ 1 - \frac{x^{2}}{l^{2}}} \approx - b + \frac{bx^{2}}{2l^{2}}$.
Тогда получим: $\Delta y \approx bx^{2}/(2l^{2})$. Значит, потенциальная энергия
$\Pi = mg \Delta y \approx \frac{1}{2} mgb \frac{x^{2}}{l^{2}}$,
$T \approx \frac{1}{2} m \cdot x^{2}$.
Таким образом, $\omega_{ \parallel}^{2} \approx gb/l^{2}$, то есть $\omega_{ \parallel}^{2} \approx g \sqrt{l^{2} - a^{2}}/ l^{2}$.
3. Из картинки видно, что $\frac{ \omega_{ \perp}}{ \omega_{ \parallel}} = 2$. Отсюда получаем:
$a = \frac{ \sqrt{3}}{2} l$.
К двум точкам A и B, находящимся на одной горизонтали, между которыми расстояние $2a$, прикреплена тонкая легкая нерастяжимая нить длиной $2l$ (рис. 1). По нити без трения скользит маленькая тяжелая бусинка. Ускорение свободного падения $g$.
1. Найдите частоту малых колебаний бусинки $\omega_{ \perp}$ в плоскости, перпендикулярной отрезку, соединяющему точки крепления нити.
2. Найдите частоту малых колебаний бусинки $\omega_{ \parallel}$ в вертикальной плоскости, проходящей через точки крепления нити.
3. При каком отношении $l/a$ траектория движения бусинки в проекции на горизонтальную плоскость может иметь следующий вид (рис. 2)?
Примечание. При решении задачи Вам может оказаться полезной формула $(1 + x)^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} x^{2} + \cdots$ при $x \ll 1$.
рис.1
рис.2
Решение:
1. В первом случае происходят колебания математического маятника с длиной подвеса $b = \sqrt{ l^{2} - a^{2}}$:
$\omega_{ \perp}^{2} = \frac{g}{ \sqrt{ l^{2} - a^{2}}}$.
2. Так как нить нерастяжимая, то $AC + CBВ = 2l$. Следовательно во втором случае бусинка С движется по эллипсу с фокусами А и В. Длина малой полуоси $b = \sqrt{ l^{2} - a^{2}}$, большой полуоси — $l$. Уравнение эллипса:
$\frac{x^{2}}{l^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, y = - b \sqrt{ 1 - \frac{x^{2}}{l^{2}}} \approx - b + \frac{bx^{2}}{2l^{2}}$.
Тогда получим: $\Delta y \approx bx^{2}/(2l^{2})$. Значит, потенциальная энергия
$\Pi = mg \Delta y \approx \frac{1}{2} mgb \frac{x^{2}}{l^{2}}$,
$T \approx \frac{1}{2} m \cdot x^{2}$.
Таким образом, $\omega_{ \parallel}^{2} \approx gb/l^{2}$, то есть $\omega_{ \parallel}^{2} \approx g \sqrt{l^{2} - a^{2}}/ l^{2}$.
3. Из картинки видно, что $\frac{ \omega_{ \perp}}{ \omega_{ \parallel}} = 2$. Отсюда получаем:
$a = \frac{ \sqrt{3}}{2} l$.
