Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2373
2017-03-12 
На два вращающихся в противоположных направлениях цилиндрических валика радиусом $R = 0,5 м$, положили длинный однородный брус (рис.) так, что его центр масс оказался смещенным от оси симметрии на $\alpha L$, где $\alpha = 3/8$, а $L = 2 м$ — расстояние между осями валиков. Затем брус без толчка отпускают. Коэффициент трения между брусом и валиками равен $k = 0,3$ и не зависит от их относительной скорости. Угловая скорость вращения валиков равна $\omega_{1} = 10 с^{-1}$. После того, как колебания установились, угловую скорость вращения валиков уменьшили в 10 раз. Найдите частоту $\Omega$ и амплитуду $A_{2}$ новых установившихся колебаний бруса.
Решение:
Обозначим через $x$ смещение центра масс, $N_{i}$ — реакции опор (рис.). Запишем второй закон Ньютона и уравнение моментов относительно центра масс:
$N_{1} + N_{2} = Mg$,
$N_{1} (L/2 - x) = N_{2} (L/2 + x)$.
Предположим, что проскальзывание есть на обоих валиках. Тогда
$F_{тр} = k(N_{1} - N_{2}) = - k M g2x/L$
Из второго закона Ньютона в проекции на горизонтальную ось следует, что брус совершает гармонические колебания с частотой
$\omega_{0} = \sqrt{2kg/L} = 1,72 с^{-1}$.
При этом $x(t) = x_{0} \cos ( \omega_{0} t), V(t) = - \omega_{0} x_{0} \sin ( \omega_{0} t)$, причем максимальное по модулю значение скорости составляет
$V_{max} = x_{0} \omega_{0} = 1,29 м/с < \omega R = 5 м/с$.
Следовательно, предположение об относительном проскальзывании выполнено. При уменьшении $\omega$ в 10 раз $\omega_{new} R = 0,5 м/с < V_{max}$, поэтому амплитуда будет уменьшаться, пока $V_{max}$ не станет равным $\omega_{new}R$. Амплитуда новых установившихся колебаний будет равна $\omega R/ \omega_{0} = 0,29 м$.
На два вращающихся в противоположных направлениях цилиндрических валика радиусом $R = 0,5 м$, положили длинный однородный брус (рис.) так, что его центр масс оказался смещенным от оси симметрии на $\alpha L$, где $\alpha = 3/8$, а $L = 2 м$ — расстояние между осями валиков. Затем брус без толчка отпускают. Коэффициент трения между брусом и валиками равен $k = 0,3$ и не зависит от их относительной скорости. Угловая скорость вращения валиков равна $\omega_{1} = 10 с^{-1}$. После того, как колебания установились, угловую скорость вращения валиков уменьшили в 10 раз. Найдите частоту $\Omega$ и амплитуду $A_{2}$ новых установившихся колебаний бруса.
Решение:
Обозначим через $x$ смещение центра масс, $N_{i}$ — реакции опор (рис.). Запишем второй закон Ньютона и уравнение моментов относительно центра масс:
$N_{1} + N_{2} = Mg$,
$N_{1} (L/2 - x) = N_{2} (L/2 + x)$.
Предположим, что проскальзывание есть на обоих валиках. Тогда
$F_{тр} = k(N_{1} - N_{2}) = - k M g2x/L$
Из второго закона Ньютона в проекции на горизонтальную ось следует, что брус совершает гармонические колебания с частотой
$\omega_{0} = \sqrt{2kg/L} = 1,72 с^{-1}$.
При этом $x(t) = x_{0} \cos ( \omega_{0} t), V(t) = - \omega_{0} x_{0} \sin ( \omega_{0} t)$, причем максимальное по модулю значение скорости составляет
$V_{max} = x_{0} \omega_{0} = 1,29 м/с < \omega R = 5 м/с$.
Следовательно, предположение об относительном проскальзывании выполнено. При уменьшении $\omega$ в 10 раз $\omega_{new} R = 0,5 м/с < V_{max}$, поэтому амплитуда будет уменьшаться, пока $V_{max}$ не станет равным $\omega_{new}R$. Амплитуда новых установившихся колебаний будет равна $\omega R/ \omega_{0} = 0,29 м$.
