Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2372
2017-03-12 
В электрической цепи, представленной на рисунке, ключ К разомкнут и токи не текут. Определите:
1. Токи через батареи $\mathcal{E}_{1}$ и $\mathcal{E}_{2}$ сразу после замыкания ключа К.
2. Изменение электростатической энергии $\Delta W$ системы после прекращения токов.
3. Работы $A_{1}$ и $A_{2}$ батарей $\mathcal{E}_{1}$ и $\mathcal{E}_{2}$ за все время процесса.
4. Количество теплоты $Q$, выделившееся на резисторах после замыкания ключа К.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
1. До замыкания ключа К на кондесаторах были одинаковые разности потенциалов $U_{0} = \mathcal{E}_{1}/2$ и заряды $q_{0} = C \mathcal{E}_{1}/2$. Полярность указана на рисунке (рис. 1).
2. В момент замыкания заряды конденсаторов и напряжения на них не могут мгновенно измениться. В цепи появляются токи $I, I_{1}$, и $I_{2}$ (рис. 2). Согласно законам Кирхгофа:
$IR = \mathcal{E}_{2} + \mathcal{E}_{1} - U_{0} \Rightarrow I = \frac{ \mathcal{E}_{2} + \mathcal{E}_{1}/2}{R}$.
Здесь $I$ — ток через $\mathcal{E}_{2}$. Далее
$I_{2}R + IR = \mathcal{E}_{2} + U_{0}$,
$I_{2} = - I + \frac{ \mathcal{E}_{2} + U_{0}}{R} = - \frac{ \mathcal{E}_{2} + \mathcal{E}_{1} / 2}{R} + \frac{ \mathcal{E}_{2} + \mathcal{E}_{1}/2}{R} = 0$.
Следовательно $I_{1} = I = \frac{ \mathcal{E}_{2} + \mathcal{E}_{1}}{R}$, где $I_{1}$ — ток через $\mathcal{E}_{1}$.
3. Начальная энергия системы $W_{0} = 2CU_{0}^{2}/2 = C \mathcal{E}_{1}^{2}/4$. В конечном состоянии (т. е. после затухания токов) напряжения на конденсаторах равны $U_{1} = \mathcal{E}_{2} + \mathcal{E}_{1}$ и $U_{2} = \mathcal{E}_{2}$. Полярность указана на рисунке (рис. 3). Энергия системы в конечном состоянии есть:
$W = \frac{C \mathcal{E}_{2}^{2}}{2} + \frac{C( \mathcal{E}_{2} - \mathcal{E}_{1})^{2}}{2}$.
4. Изменение энергии
$\Delta W = W - W_{0} = \frac{C \mathcal{E}_{2}^{2}}{2} + \frac{C \mathcal{E}_{2}^{2}}{2} + \frac{C \mathcal{E}_{1}^{2}}{2} + C \mathcal{E}_{1} \mathcal{E}_{2} - \frac{C \mathcal{E}_{1}^{2}}{4} = C \mathcal{E}_{2}^{2} + \frac{C \mathcal{E}_{1}^{2}}{4} + C \mathcal{E}_{1} \mathcal{E}_{2} = \frac{C}{4} ( \mathcal{E}_{1} + 2 \mathcal{E}_{2})$
5. До замыкания ключа К суммарный заряд на левых обкладках конденсаторов был равен нулю. В конечном состоянии
$q_{1} = C( \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2})$
$q_{2} = C \mathcal{E}_{2}$
Отсюда:
$q = q_{1} + q_{2} = C ( \mathcal{E}_{1} +2 \mathcal{E}_{2})$.
Это означает, что через батарею $\mathcal{E}_{2}$ протек заряд $q$ и батарея совершила работу
$A_{2} = q \mathcal{E}_{2} = C \mathcal{E}_{2} ( \mathcal{E}_{1} + 2 \mathcal{E}_{2})$.
Через батарею $\mathcal{E}_{1}$ протек заряд
$\Delta q = q_{1} - q_{0} = C ( \mathcal{E}_{2} + \mathcal{E}_{1}) - \frac{\mathcal{E}_{1}}{2} = \frac{C(2 \mathcal{E}_{2} + \mathcal{E}_{1})}{2}$.
Батарея совершила работу
$A_{1} = \Delta q \mathcal{E}_{1} = \frac{ C \mathcal{E}_{1} ( 2 \mathcal{E}_{2} + \mathcal{E}_{1})}{2}$.
Обе батареи совершили работу $A = A_{1} + A_{2} = C( \mathcal{E}_{1} + 2 \mathcal{E}_{2})^{2}/2$.
6. По закону сохранения энергии $A = \Delta W + Q$, где $Q$ — выделившееся тепло.
$Q = A - \Delta W = \frac{C( \mathcal{E}_{1} + 2 \mathcal{E}_{2})^{2}}{4}$.
В электрической цепи, представленной на рисунке, ключ К разомкнут и токи не текут. Определите:
1. Токи через батареи $\mathcal{E}_{1}$ и $\mathcal{E}_{2}$ сразу после замыкания ключа К.
2. Изменение электростатической энергии $\Delta W$ системы после прекращения токов.
3. Работы $A_{1}$ и $A_{2}$ батарей $\mathcal{E}_{1}$ и $\mathcal{E}_{2}$ за все время процесса.
4. Количество теплоты $Q$, выделившееся на резисторах после замыкания ключа К.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
1. До замыкания ключа К на кондесаторах были одинаковые разности потенциалов $U_{0} = \mathcal{E}_{1}/2$ и заряды $q_{0} = C \mathcal{E}_{1}/2$. Полярность указана на рисунке (рис. 1).
2. В момент замыкания заряды конденсаторов и напряжения на них не могут мгновенно измениться. В цепи появляются токи $I, I_{1}$, и $I_{2}$ (рис. 2). Согласно законам Кирхгофа:
$IR = \mathcal{E}_{2} + \mathcal{E}_{1} - U_{0} \Rightarrow I = \frac{ \mathcal{E}_{2} + \mathcal{E}_{1}/2}{R}$.
Здесь $I$ — ток через $\mathcal{E}_{2}$. Далее
$I_{2}R + IR = \mathcal{E}_{2} + U_{0}$,
$I_{2} = - I + \frac{ \mathcal{E}_{2} + U_{0}}{R} = - \frac{ \mathcal{E}_{2} + \mathcal{E}_{1} / 2}{R} + \frac{ \mathcal{E}_{2} + \mathcal{E}_{1}/2}{R} = 0$.
Следовательно $I_{1} = I = \frac{ \mathcal{E}_{2} + \mathcal{E}_{1}}{R}$, где $I_{1}$ — ток через $\mathcal{E}_{1}$.
3. Начальная энергия системы $W_{0} = 2CU_{0}^{2}/2 = C \mathcal{E}_{1}^{2}/4$. В конечном состоянии (т. е. после затухания токов) напряжения на конденсаторах равны $U_{1} = \mathcal{E}_{2} + \mathcal{E}_{1}$ и $U_{2} = \mathcal{E}_{2}$. Полярность указана на рисунке (рис. 3). Энергия системы в конечном состоянии есть:
$W = \frac{C \mathcal{E}_{2}^{2}}{2} + \frac{C( \mathcal{E}_{2} - \mathcal{E}_{1})^{2}}{2}$.
4. Изменение энергии
$\Delta W = W - W_{0} = \frac{C \mathcal{E}_{2}^{2}}{2} + \frac{C \mathcal{E}_{2}^{2}}{2} + \frac{C \mathcal{E}_{1}^{2}}{2} + C \mathcal{E}_{1} \mathcal{E}_{2} - \frac{C \mathcal{E}_{1}^{2}}{4} = C \mathcal{E}_{2}^{2} + \frac{C \mathcal{E}_{1}^{2}}{4} + C \mathcal{E}_{1} \mathcal{E}_{2} = \frac{C}{4} ( \mathcal{E}_{1} + 2 \mathcal{E}_{2})$
5. До замыкания ключа К суммарный заряд на левых обкладках конденсаторов был равен нулю. В конечном состоянии
$q_{1} = C( \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2})$
$q_{2} = C \mathcal{E}_{2}$
Отсюда:
$q = q_{1} + q_{2} = C ( \mathcal{E}_{1} +2 \mathcal{E}_{2})$.
Это означает, что через батарею $\mathcal{E}_{2}$ протек заряд $q$ и батарея совершила работу
$A_{2} = q \mathcal{E}_{2} = C \mathcal{E}_{2} ( \mathcal{E}_{1} + 2 \mathcal{E}_{2})$.
Через батарею $\mathcal{E}_{1}$ протек заряд
$\Delta q = q_{1} - q_{0} = C ( \mathcal{E}_{2} + \mathcal{E}_{1}) - \frac{\mathcal{E}_{1}}{2} = \frac{C(2 \mathcal{E}_{2} + \mathcal{E}_{1})}{2}$.
Батарея совершила работу
$A_{1} = \Delta q \mathcal{E}_{1} = \frac{ C \mathcal{E}_{1} ( 2 \mathcal{E}_{2} + \mathcal{E}_{1})}{2}$.
Обе батареи совершили работу $A = A_{1} + A_{2} = C( \mathcal{E}_{1} + 2 \mathcal{E}_{2})^{2}/2$.
6. По закону сохранения энергии $A = \Delta W + Q$, где $Q$ — выделившееся тепло.
$Q = A - \Delta W = \frac{C( \mathcal{E}_{1} + 2 \mathcal{E}_{2})^{2}}{4}$.
