Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2369
2017-03-12 
Длинный товарный поезд трогается с места. Вагоны соединены друг с другом с помощью абсолютно неупругих сцепок. Первоначально зазор в каждой сцепке равен $L$ (рис.). Масса локомотива равна $m$, а его порядковый номер — первый. Все вагоны загружены, и масса каждого из них тоже равна $m$.
1. Считая силу тяги локомотива постоянной и равной $F$, найдите время, за которое в движение будет вовлечено $N$ вагонов.
2. Полагая, что состав очень длинный $(N \rightarrow \infty)$, определите предельную скорость $v_{ \infty}$ локомотива.
Решение:
Пусть $v_{i}^{ \prime}$ — скорость части состава из $i$ вагонов сразу после вовлечения в движение $i$-oгo вагона, a $v_{i}$ — скорость части состава из $i$ вагонов перед ударом с $i + 1$ вагоном. Из закона сохранения импульса $(i + 1)mv_{i+1}^{ \prime} = imv_{i} = p_{i}$.
По второму закону Ньютона
$a_{i+1} = \frac{F}{(i+1)m}$. (1)
По известному кинематическому соотношению
$a_{i+1} L = \frac{v_{i+1}^{2} - v_{i+1}^{ \prime 2}}{2}$. (2)
Подставив (1) в (2), получим
$v_{i+1}^{2} = \frac{2FL}{(i+1)m} + \left ( \frac{i}{i+1} \right )^{2} v_{i}^{2}$,
$p_{i+1}^{2} = 2 (i+1) mFL + p_{i}^{2}$.
Из полученной рекурентной формулы следует
$p_{N}^{2} = 2mFL \sum_{i=1}^{N} i + p_{0}^{2}$
и, так как $p_{0}=0$, то
$p_{N}^{2} = 2mFL \frac{N(N+1)}{2}, v_{N} = \sqrt{ \frac{FL}{m}} \sqrt{ \frac{N+1}{N}}$.
Найдем время вовлечения в движение $N$ вагонов:
$v_{i} - v_{i}^{ \prime} = a_{i} \Delta t_{i}$,
$\Delta t_{i} = (v_{i} - v_{i}^{ \prime}) / a_{i} = \frac{m}{F} (i v_{i} - i v_{i}^{ \prime}) = \frac{m}{F} [iv_{i} - (i-1) v_{i-1}]$,
$t_{N} = \frac{m}{F} \sum_{i=1}^{N-1} [iv_{i} - (i-1) v_{i-1}] = \frac{m}{F} [(N-1)v_{N-1} - 0 v_{0}] = \frac{m}{F} v_{N-1} (N-1)$.
Используя полученное ранее выражение для $v_{N}$ найдем
$t_{N} = \sqrt{ \frac{mL}{F}} N \sqrt{ 1 - \frac{1}{N}}$.
Длинный товарный поезд трогается с места. Вагоны соединены друг с другом с помощью абсолютно неупругих сцепок. Первоначально зазор в каждой сцепке равен $L$ (рис.). Масса локомотива равна $m$, а его порядковый номер — первый. Все вагоны загружены, и масса каждого из них тоже равна $m$.
1. Считая силу тяги локомотива постоянной и равной $F$, найдите время, за которое в движение будет вовлечено $N$ вагонов.
2. Полагая, что состав очень длинный $(N \rightarrow \infty)$, определите предельную скорость $v_{ \infty}$ локомотива.
Решение:
Пусть $v_{i}^{ \prime}$ — скорость части состава из $i$ вагонов сразу после вовлечения в движение $i$-oгo вагона, a $v_{i}$ — скорость части состава из $i$ вагонов перед ударом с $i + 1$ вагоном. Из закона сохранения импульса $(i + 1)mv_{i+1}^{ \prime} = imv_{i} = p_{i}$.
По второму закону Ньютона
$a_{i+1} = \frac{F}{(i+1)m}$. (1)
По известному кинематическому соотношению
$a_{i+1} L = \frac{v_{i+1}^{2} - v_{i+1}^{ \prime 2}}{2}$. (2)
Подставив (1) в (2), получим
$v_{i+1}^{2} = \frac{2FL}{(i+1)m} + \left ( \frac{i}{i+1} \right )^{2} v_{i}^{2}$,
$p_{i+1}^{2} = 2 (i+1) mFL + p_{i}^{2}$.
Из полученной рекурентной формулы следует
$p_{N}^{2} = 2mFL \sum_{i=1}^{N} i + p_{0}^{2}$
и, так как $p_{0}=0$, то
$p_{N}^{2} = 2mFL \frac{N(N+1)}{2}, v_{N} = \sqrt{ \frac{FL}{m}} \sqrt{ \frac{N+1}{N}}$.
Найдем время вовлечения в движение $N$ вагонов:
$v_{i} - v_{i}^{ \prime} = a_{i} \Delta t_{i}$,
$\Delta t_{i} = (v_{i} - v_{i}^{ \prime}) / a_{i} = \frac{m}{F} (i v_{i} - i v_{i}^{ \prime}) = \frac{m}{F} [iv_{i} - (i-1) v_{i-1}]$,
$t_{N} = \frac{m}{F} \sum_{i=1}^{N-1} [iv_{i} - (i-1) v_{i-1}] = \frac{m}{F} [(N-1)v_{N-1} - 0 v_{0}] = \frac{m}{F} v_{N-1} (N-1)$.
Используя полученное ранее выражение для $v_{N}$ найдем
$t_{N} = \sqrt{ \frac{mL}{F}} N \sqrt{ 1 - \frac{1}{N}}$.
