Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2367
2017-03-12 
Дан "черный ящик" с тремя выводами. Известно, что внутри ящика находится некоторая схема, составленная из резисторов (рис.). Если к выводам (1),(3) подключить источник напряжения $U = 15 В$ и измерить с помощью вольтметра напряжения между выводами (1),(2) и (2),(3), то они оказываются равными $U_{12} = 6 В$ и $U_{23} = 9 В$. Если источник напряжения подключить к выводам (2),(3), то $U_{21} = 10 В, U_{13} = 5 В$. Какими будут напряжения $U_{13}, U_{32}$, если источник подключить к выводам (1),(2)? Нарисуйте возможные схемы "черного ящика" с минимальным числом резисторов. Полагая, что наименьшее сопротивление из всех резисторов равно $R$, найдите сопротивления остальных резисторов.
Решение:
рис.1
рис.2
Рассмотрим соединение "треугольником" (рис. 1). Тогда при подключении источника питания к клеммам 1,3 по ветви 1—2—3 будет течь ток $I$, поэтому $U_{12} = Ir_{12}$, а $U_{23} = Ir_{23}$. Отсюда, $\frac{r_{12}}{r_{23}} = \frac{U_{12}}{U_{23}} = \frac{6}{9}$. Аналогично, для случая подключения источника питания к выходам 2,3 можно записать $\frac{r_{12}}{r_{13}} = \frac{U_{21}}{U_{13}} = \frac{10}{5}$. Тогда получим $r_{13} < r_{12} < r_{23}$. Значит, $r_{13} = R, r_{12} = 2R$, а $r_{23} = 3R$.
Для соединения "звездой" (рис. 2) получаем, что при подключении источника питания к клеммам 1 и 3 ток $I_{13}$ идет только по ветви 1-0—3, поэтому
$U_{12} = I_{13} r_{1}, U_{23} = I_{13} r_{3}$,
а при подключении к выходам 2,3 $U_{21} = I_{13}r_{2}$ и $U_{13} = I_{13}r_{3}$. Отсюда $r_{1} < r_{3} < r_{2}$, значит $r_{1} = R, r_{3} = \frac{3}{2}R$, а $r_{2} = 3R$. Эти две схемы полностью эквивалентны, поэтому напряжения $U_{13}$ и $U_{23}$ можно вычислять по любой из них. Воспользуемся схемой "звезда":
$U_{13} = Ir_{1}, U_{23} = Ir_{2}, U_{13} + U_{23} = U$.
Отсюда получаем $\frac{U_{23}}{U_{13}} = \frac{3}{1}$ и $U_{13} = 15/4 = 3,75 В, U_{23} = 45/4 = 11,25 В$.
Дан "черный ящик" с тремя выводами. Известно, что внутри ящика находится некоторая схема, составленная из резисторов (рис.). Если к выводам (1),(3) подключить источник напряжения $U = 15 В$ и измерить с помощью вольтметра напряжения между выводами (1),(2) и (2),(3), то они оказываются равными $U_{12} = 6 В$ и $U_{23} = 9 В$. Если источник напряжения подключить к выводам (2),(3), то $U_{21} = 10 В, U_{13} = 5 В$. Какими будут напряжения $U_{13}, U_{32}$, если источник подключить к выводам (1),(2)? Нарисуйте возможные схемы "черного ящика" с минимальным числом резисторов. Полагая, что наименьшее сопротивление из всех резисторов равно $R$, найдите сопротивления остальных резисторов.
Решение:
рис.1
рис.2
Рассмотрим соединение "треугольником" (рис. 1). Тогда при подключении источника питания к клеммам 1,3 по ветви 1—2—3 будет течь ток $I$, поэтому $U_{12} = Ir_{12}$, а $U_{23} = Ir_{23}$. Отсюда, $\frac{r_{12}}{r_{23}} = \frac{U_{12}}{U_{23}} = \frac{6}{9}$. Аналогично, для случая подключения источника питания к выходам 2,3 можно записать $\frac{r_{12}}{r_{13}} = \frac{U_{21}}{U_{13}} = \frac{10}{5}$. Тогда получим $r_{13} < r_{12} < r_{23}$. Значит, $r_{13} = R, r_{12} = 2R$, а $r_{23} = 3R$.
Для соединения "звездой" (рис. 2) получаем, что при подключении источника питания к клеммам 1 и 3 ток $I_{13}$ идет только по ветви 1-0—3, поэтому
$U_{12} = I_{13} r_{1}, U_{23} = I_{13} r_{3}$,
а при подключении к выходам 2,3 $U_{21} = I_{13}r_{2}$ и $U_{13} = I_{13}r_{3}$. Отсюда $r_{1} < r_{3} < r_{2}$, значит $r_{1} = R, r_{3} = \frac{3}{2}R$, а $r_{2} = 3R$. Эти две схемы полностью эквивалентны, поэтому напряжения $U_{13}$ и $U_{23}$ можно вычислять по любой из них. Воспользуемся схемой "звезда":
$U_{13} = Ir_{1}, U_{23} = Ir_{2}, U_{13} + U_{23} = U$.
Отсюда получаем $\frac{U_{23}}{U_{13}} = \frac{3}{1}$ и $U_{13} = 15/4 = 3,75 В, U_{23} = 45/4 = 11,25 В$.
