2014-05-31
Две заряженные металлические сферы находятся на большом расстоянии друг от друга. Радиусы сфер $r_{1}$ и $r_{2}$. Сферы соединены тонким металлическим проводом. Найдите отношение напряженностей на поверхностях сфер. Расстояние $L$ между сферами много больше радиусов сфер.
Решение:
Потенциал $\phi$ поверхности изолированной металлической сферы радиусом $r$ с зарядом $Q$ определяется формулой
$\phi = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0}r}$
Поверхности сфер разных радиусов $r_{1}$ и $r_{2}$ соединены тонким проводником, т. е. имеют одинаковый потенциал, но несут на себе разные заряды $Q_{1}$ и $Q_{2}$. В силу равенства потенциалов сфер имеет место следующее соотношение:
$Q_{1}/r_{2}=Q_{2}/r_{2}$. (1)
Напряженность поля у поверхности сферы радиусом $r$ с зарядом $Q$ определяется формулой
$|\bar{E}|= \frac{|Q|}{4 \pi \varepsilon_{0}r^{2}}$.
В соответствии с этим
$\frac{E_{1}}{E_{2}}=\frac{Q_{1}}{Q_{2}} \left ( \frac{r_{2}}{r_{1}} \right )^{2}$,
или с учетом формулы (1)
$E_{1}/E_{2} = r_{2}/r_{1}$. (2)
При решении задачи мы пренебрегали влиянием сфер друг на друга. Оценим это влияние. Сфера с зарядом $Q_{1}$ создает на расстоянии $L$ поле с напряженностью
$|\bar{E}|= \frac{|Q_{1}|}{4 \pi \varepsilon_{0}L^{2}}$.
Влиянием этого поля можно пренебречь, если его величина много меньше величины поля, создаваемого второй сферой около своей поверхности, т. е. в том случае, если
$\frac{Q_{1}}{4 \pi \varepsilon_{0}L^{2}} \ll \frac{Q_{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}r^{2}_{2}}$,
откуда
$L^{2} \gg \frac{Q_{1}}{Q_{2}} r^{2}_{2}$. (3)
Рассматривая поле второй сферы у поверхности первой, получаем условие
$L^{2} \gg \frac{Q_{2}}{Q_{1}} r^{2}_{1}$. (4)
Используя формулу (1), легко получить следующее условие:
$L^{2} \gg r_{1} r_{2}$. (5)
Таким образом, полученный ответ (2) справедлив только при выполнении условия (5).