Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2322
2017-03-08 
Идеальная собирающая тонкая линза с фокусным расстоянием $F$ имеет форму диска диаметра $d$ и заключена в оправу с внешним диаметром $D$. За линзой на расстоянии $F$ от ее оптического центра перпендикулярно главной оптической оси расположен плоский экран достаточно большой площади. Перед линзой на ее главной оптической оси размещен точечный источник света. Получите формулу зависимости площади тени, отбрасываемой оправой на экран, от расстояния $l$ между источником и оптическим центром линзы, если $F < l < \infty$. Постройте график этой зависимости.
Решение:
рис.1
рис.2
Ход лучей в рассматриваемой системе приведен на рис. 1, области тени отмечены серым цветом. Тень от оправы линзы на экране имеет форму кольца, внешний диаметр которого определяется из простых геометрических соображений: $D_{T} = \frac{l+F}{l} D$. Внутренний диаметр теневого кольца определяется аналогичных образом $d_{T} = \frac{L-F}{L} d = \left ( 1 - \frac{F}{l} \right ) d$, где $L$ - расстояние от линзы до действительного изображения источника, которое определяется по формуле тонкой линзы: $\frac{1}{l} + \frac{1}{L} = \frac{1}{F} \Rightarrow L = \frac{Fl}{l-F}$. Тогда внутренний диаметр тени $d_{T} = \frac{F}{l} d$ и ее площадь определяется по формуле $S = \frac{ \pi}{4}( D_{T}^{2} - d_{T}^{2} ) = \frac{ \pi}{4} \left ( \frac{(l+F)^{2}}{l^{2}} D^{2} - \frac{F^{2}}{l^{2}} d^{2} \right )$.
График этой зависимости приведен на рис. 2. Заметим, что при увеличении расстояния $l$ до бесконечности площадь тени стремится к значению $\pi D^{2} / 4$, т.к. изображение источника находится на экране и имеет нулевую площадь.
Ответ: $S = \frac{ \pi}{4} \left ( \frac{(l+F)^{2}}{l^{2}} R^{2} - \frac{F^{2}}{l^{2}} r^{2} \right )$.
Идеальная собирающая тонкая линза с фокусным расстоянием $F$ имеет форму диска диаметра $d$ и заключена в оправу с внешним диаметром $D$. За линзой на расстоянии $F$ от ее оптического центра перпендикулярно главной оптической оси расположен плоский экран достаточно большой площади. Перед линзой на ее главной оптической оси размещен точечный источник света. Получите формулу зависимости площади тени, отбрасываемой оправой на экран, от расстояния $l$ между источником и оптическим центром линзы, если $F < l < \infty$. Постройте график этой зависимости.
Решение:
рис.1
рис.2
Ход лучей в рассматриваемой системе приведен на рис. 1, области тени отмечены серым цветом. Тень от оправы линзы на экране имеет форму кольца, внешний диаметр которого определяется из простых геометрических соображений: $D_{T} = \frac{l+F}{l} D$. Внутренний диаметр теневого кольца определяется аналогичных образом $d_{T} = \frac{L-F}{L} d = \left ( 1 - \frac{F}{l} \right ) d$, где $L$ - расстояние от линзы до действительного изображения источника, которое определяется по формуле тонкой линзы: $\frac{1}{l} + \frac{1}{L} = \frac{1}{F} \Rightarrow L = \frac{Fl}{l-F}$. Тогда внутренний диаметр тени $d_{T} = \frac{F}{l} d$ и ее площадь определяется по формуле $S = \frac{ \pi}{4}( D_{T}^{2} - d_{T}^{2} ) = \frac{ \pi}{4} \left ( \frac{(l+F)^{2}}{l^{2}} D^{2} - \frac{F^{2}}{l^{2}} d^{2} \right )$.
График этой зависимости приведен на рис. 2. Заметим, что при увеличении расстояния $l$ до бесконечности площадь тени стремится к значению $\pi D^{2} / 4$, т.к. изображение источника находится на экране и имеет нулевую площадь.
Ответ: $S = \frac{ \pi}{4} \left ( \frac{(l+F)^{2}}{l^{2}} R^{2} - \frac{F^{2}}{l^{2}} r^{2} \right )$.
