Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2321
2017-03-08 
Трюмо в комнате Знайки состоит из трех одинаковых зеркал, два из которых закреплены под углом $45^{ \circ}$ к третьему (см. рис.). От времени центральное зеркало испортилось и перестало отражать свет. Сколько своих изображений сможет увидеть Знайка, если он находится на оси симметрии трюмо на расстоянии $a$ от центрального зеркала? Постройте все изображения Знайки в зеркалах трюмо. Длина каждого зеркала $l$, высота больше роста Знайки.
Решение:
Введем следующие обозначения (см. рис. ):ABCD - трюмо, S - положение Знайки, O - точка пересечения продолжений сторон трюмо AB и CD, F - основание перпендикуляра, опущенного из точки S на AB, E - середина ВС. Несложно видеть, что изображения Знайки в зеркалах AB и СD существуют всегда (они обозначены $S_{1}$ и $S_{2}$ соответственно). Поскольку $\angle OFS = \angle OFS_{1}$, то оба изображения $S_{1}$ и $S_{2}$ находятся на прямой, проведенной через т. O параллельно ВС, и $S_{1}O = S_{2}O = SO$.
В то же время увидеть изображение можно не всегда, а лишь когда отраженные от зеркала лучи попадут в точку, в которой находится наблюдатель. Так, свое изображение в зеркалах AB и СD Знайка сможет увидеть, только если точка F лежит на отрезке AB (а не на его продолжении). Это возможно, если он находится между точками К и N, перпендикуляры, опущенные из которых на AВ, попадают в точки В и A соответственно. Несложные вычисления показывают, что $EK = l \sqrt{2} /2, EN = l ( \sqrt{2} - 1/2)$.
Кроме этих изображений, может образоваться изображение мнимого предмета $S_{1}$ в зеркале СD и, наоборот, мнимого предмета $S_{2}$ в зеркале AB. Физически это соответствует тому, что после отражения от зеркала AВ луч сначала попадет на зеркало СD, а затем уйдет из системы. (Заметим, что более чем двукратных отражений в данной системе возникнуть не может). Оба полученных таким образом изображения располагаются в т. $S_{12} (OS = OS_{12})$, причем их ориентация также совпадает, поэтому фактически изображение одно.
Это изображение может образоваться, если луч, "исходящий" из т. $S_{1}$ и прошедший через отрезок AВ, попадет на отрезок СD, т.е. если прямая ВD пересечет прямую $S_{1}S_{2}$ на отрезке $OS_{1}$. Соответствующее условие проще всего записать в виде $OM > OS_{1}$. Несложно переписать это условие в виде $ES > (l/2) ctg \angle CBD. \angle CBD = 22,50^{ \circ}$, поэтому окончательно условие запишется в виде:
$ES > \frac{l}{2} \sqrt{ \frac{ \sqrt{2} +1}{ \sqrt{2} - 1}}$.
Даже если это изображение существует, Знайка не сможет его увидеть. Это можно пояснить следующим рассуждением: все лучи света, образующие это изображение, должны казаться выходящими из точки $S_{12}$. В то же время они обязательно должны выходить из одного из боковых зеркал трюмо АВ или СD, поскольку после отражения от них луч больше нигде не изменяет своего направления. Поэтому область, из которой видно изображение $S_{12}$, ограничена лучами $S_{12}A$ и $S_{12}B$ и лучами $S_{12}C$ и $S_{12}D$ (на рис. эти области окрашены серым). Видно, что никакая точка оси симметрии зеркала не принадлежит этим областям. (Если же сойти с центральной оси, то это изображение действительно можно увидеть. Рекомендуется проделать соответствующий эксперимент).
Ответ: при $a > \frac{l}{2} \sqrt{ \frac{ \sqrt{2} + 1 }{ \sqrt{2} - 1}}$ существует три изображения, в противном случае - 2, все они мнимые, при $l \frac{ \sqrt{2}}{2} < a < l( \sqrt{2} - \frac{1}{2})$ Знайка видит 2 изображения, в противном случае - ни одного.
Трюмо в комнате Знайки состоит из трех одинаковых зеркал, два из которых закреплены под углом $45^{ \circ}$ к третьему (см. рис.). От времени центральное зеркало испортилось и перестало отражать свет. Сколько своих изображений сможет увидеть Знайка, если он находится на оси симметрии трюмо на расстоянии $a$ от центрального зеркала? Постройте все изображения Знайки в зеркалах трюмо. Длина каждого зеркала $l$, высота больше роста Знайки.
Решение:
Введем следующие обозначения (см. рис. ):ABCD - трюмо, S - положение Знайки, O - точка пересечения продолжений сторон трюмо AB и CD, F - основание перпендикуляра, опущенного из точки S на AB, E - середина ВС. Несложно видеть, что изображения Знайки в зеркалах AB и СD существуют всегда (они обозначены $S_{1}$ и $S_{2}$ соответственно). Поскольку $\angle OFS = \angle OFS_{1}$, то оба изображения $S_{1}$ и $S_{2}$ находятся на прямой, проведенной через т. O параллельно ВС, и $S_{1}O = S_{2}O = SO$.
В то же время увидеть изображение можно не всегда, а лишь когда отраженные от зеркала лучи попадут в точку, в которой находится наблюдатель. Так, свое изображение в зеркалах AB и СD Знайка сможет увидеть, только если точка F лежит на отрезке AB (а не на его продолжении). Это возможно, если он находится между точками К и N, перпендикуляры, опущенные из которых на AВ, попадают в точки В и A соответственно. Несложные вычисления показывают, что $EK = l \sqrt{2} /2, EN = l ( \sqrt{2} - 1/2)$.
Кроме этих изображений, может образоваться изображение мнимого предмета $S_{1}$ в зеркале СD и, наоборот, мнимого предмета $S_{2}$ в зеркале AB. Физически это соответствует тому, что после отражения от зеркала AВ луч сначала попадет на зеркало СD, а затем уйдет из системы. (Заметим, что более чем двукратных отражений в данной системе возникнуть не может). Оба полученных таким образом изображения располагаются в т. $S_{12} (OS = OS_{12})$, причем их ориентация также совпадает, поэтому фактически изображение одно.
Это изображение может образоваться, если луч, "исходящий" из т. $S_{1}$ и прошедший через отрезок AВ, попадет на отрезок СD, т.е. если прямая ВD пересечет прямую $S_{1}S_{2}$ на отрезке $OS_{1}$. Соответствующее условие проще всего записать в виде $OM > OS_{1}$. Несложно переписать это условие в виде $ES > (l/2) ctg \angle CBD. \angle CBD = 22,50^{ \circ}$, поэтому окончательно условие запишется в виде:
$ES > \frac{l}{2} \sqrt{ \frac{ \sqrt{2} +1}{ \sqrt{2} - 1}}$.
Даже если это изображение существует, Знайка не сможет его увидеть. Это можно пояснить следующим рассуждением: все лучи света, образующие это изображение, должны казаться выходящими из точки $S_{12}$. В то же время они обязательно должны выходить из одного из боковых зеркал трюмо АВ или СD, поскольку после отражения от них луч больше нигде не изменяет своего направления. Поэтому область, из которой видно изображение $S_{12}$, ограничена лучами $S_{12}A$ и $S_{12}B$ и лучами $S_{12}C$ и $S_{12}D$ (на рис. эти области окрашены серым). Видно, что никакая точка оси симметрии зеркала не принадлежит этим областям. (Если же сойти с центральной оси, то это изображение действительно можно увидеть. Рекомендуется проделать соответствующий эксперимент).
Ответ: при $a > \frac{l}{2} \sqrt{ \frac{ \sqrt{2} + 1 }{ \sqrt{2} - 1}}$ существует три изображения, в противном случае - 2, все они мнимые, при $l \frac{ \sqrt{2}}{2} < a < l( \sqrt{2} - \frac{1}{2})$ Знайка видит 2 изображения, в противном случае - ни одного.
