2014-05-31
Два очень маленьких одинаковых металлических шарика, имеющих заряды $q_{1}$ и $q_{2} = 2q_{1}$, подвешены на невесомых нитях, закрепленных в одной точке. Расстояние между шариками $l = 2 см$, длина каждой нити $L \gg l$. Шарики сводят так, чтобы они коснулись друг друга, и отпускают. На каком новом расстоянии друг от друга они установятся?
Решение:
По условию задачи размер шариков мал в сравнении с расстоянием $l$, т. е. шарики можно рассматривать как точечные заряды.
Силы, действующие на шарики, показаны на рис. к задаче
Задача по физике 230.
Так как шарики покоятся, то суммы приложенных к ним сил равны нулю:
$\bar{F_{1}}+m \bar{g} + \bar{T_{1}}=0, \bar{F_{2}} + m \bar{g} +\bar{T_{2}}=0$.
Проецируя эти векторные равенства на горизонтальную и вертикальную оси и учитывая при этом, что $F_{1}=F_{2}$ и $T_{1} = T_{2} \equiv T$, получаем два уравнения
$T \sin \alpha = q_{1}q_{2}/l^{2}$, (1)
$T \cos \alpha = mg$. (2)
Деля почленно уравнения (1) и (2), находим
$tg \: \alpha = \frac{q_{1}q_{2}}{mgl^{2}}$. (3)
Кроме того, из рассмотрения треугольника AOB следует, что
$tg \alpha = \frac{l/2}{\sqrt{L^{2}-(l/2)^{2}}}$.
Так как по условию задачи $L \gg l$, то вторым членом разности содержащейся под знаком радикала, можно пренебречь в сравнении с первым, и мы получаем
$tg \: \alpha \approx \frac{l}{2L}$. (4)
Приравнивая правые части равенств (3) и (4) и решая получающейся при этом уравнение относительно $l$, находим
$l = \sqrt[3]{\frac{2Lq_{1}q_{2}}{mg}}$. (5)
После соприкосновения шарики несут на себе одинаковые заряды
$q^{\prime}_{1}= q^{\prime}_{2}=\frac{q_{1}+q_{2}}{2}=\frac{3}{2}q_{1}$. (6)
и устанавливаются друг от друга на некотором расстоянии которое будет определяться формулой, аналогичной формуле (5):
$l^{\prime} = \sqrt[3]{\frac{2Lq_{1}^{\prime}q_{2}^{\prime}}{mg}}$. (7)
Разделив почленно равенство (7) на равенство (5) и решая новое равенство относительно $l^{\prime}$, имеем
$l^{\prime}=l \sqrt[3]{\frac{q_{1}^{\prime} q_{2}^{\prime}}{q_{1}q_{2}}}$. (8)
Заменяя в (8) $q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}$ по формуле (6), окончательно получаем
$l^{\prime}=\frac{l}{2}\sqrt[3]{9}= 2,08 см$.