Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2311
2017-03-08 
В вертикально стоящем цилиндрическом сосуде с площадью основания $S$ под поршнем массы $M$ находится 1 моль идеального одноатомного газа. Сосуд начинают медленно равномерно нагревать. Определите теплоемкость системы "сосуд-газ" в процессе расширения газа, если суммарная теплоемкость сосуда и поршня постоянна и равна $C$, а между поршнем и стенками сосуда действует сила сухого трения $F$. Ускорение свободного падения $g$. Атмосферное давление равно $p_{0}$. Теплообменом с внешней средой пренебречь.
Решение:
Процесс расширения начнется тогда, когда сила давления газа сможет сдвинуть поршень с места, т.е. $pS = Mg + F + p_{0}S$, где $S$ - площадь поршня. Пусть скорость подвода тепла к системе в процессе нагрева равна $q$. Оно идет на увеличение внутренней энергии газа и совершение им работы по подъему поршня, а также на нагрев сосуда (т. к. процесс происходит медленно, то кинетической энергией, приобретаемой поршнем, можно пренебречь). Запишем уравнение теплового баланса для бесконечно малых изменений температуры, учитывая, что работа по подъему поршня складывается из трех частей: работы по увеличению его потенциальной энергии $(Mgdl)$, работы против силы внешнего давления $(p_{0}Sdl)$ и работы против силы трения $(Fdl): qdt = c_{V} dt + (Mg + p_{0}S + F) dt + CdT$, где $dT$ и $dl$ - изменение температуры и смещение поршня за бесконечно малое время $dt$.
Работа против сил трения, в свою очередь, рассеивается в виде тепла, т.е. идет на нагревание рассматриваемой системы, что можно записать следующим образом: $Fdl = c_{V}dT^{ \prime} + CdT^{ \prime} + (Mg + p_{0}S)dl^{ \prime} + Fdl^{ \prime}$, где $dl^{ \prime}$ и $dT^{ \prime}$ - "дополнительные" смещение поршня и изменение температуры. Связь между ними можно получить из уравнения состояния одного моля идеального газа: $pS dl^{ \prime} = RdT^{ \prime}$. Тогда
$dT^{ \prime} = dT \frac{FR}{pS} \frac{1}{c_{V} + C + \frac{Mg + p_{0}S + F}{pS} R}$.
Повторяя эти рассуждения, можно прийти к выводу, что общее повышение температуры $dT_{0}$ от первоначального нагрева $qdt$ определяется как сумма геометрической прогрессии с первым членом $dT$ и знаменателем $\phi = \frac{FR}{pS} \frac{1}{c_{V} + C + \frac{Mg + p_{0}S + F}{pS} R}$, т.е. $dT_{0} = dT/(1 - \phi)$. Тогда итоговое уравнение энергетического баланса за малое время $dt$ запишется в виде:
$qdt = (c_{V} + C)dT_{0} + (Mg + p_{0}S)dl_{0}$, или $qdT = \frac{ c_{V} + C + \frac{Mg + p_{0}S + F}{pS} R }{ \phi} dT_{0}$, откуда по определению теплоемкости после несложных преобразований, учитывая условия $Mg + F + p_{0}S = pS$ и $c_{V} = 3/2R$, получаем окончательный ответ.
Ответ: $c = \left ( \frac{3}{2} R + C \right ) \left ( 1 + \frac{Mg + p_{0}S}{ Mg + p_{0}S + F} \cdot \frac{R}{ \frac{5}{2} R + C} \right )$
В вертикально стоящем цилиндрическом сосуде с площадью основания $S$ под поршнем массы $M$ находится 1 моль идеального одноатомного газа. Сосуд начинают медленно равномерно нагревать. Определите теплоемкость системы "сосуд-газ" в процессе расширения газа, если суммарная теплоемкость сосуда и поршня постоянна и равна $C$, а между поршнем и стенками сосуда действует сила сухого трения $F$. Ускорение свободного падения $g$. Атмосферное давление равно $p_{0}$. Теплообменом с внешней средой пренебречь.
Решение:
Процесс расширения начнется тогда, когда сила давления газа сможет сдвинуть поршень с места, т.е. $pS = Mg + F + p_{0}S$, где $S$ - площадь поршня. Пусть скорость подвода тепла к системе в процессе нагрева равна $q$. Оно идет на увеличение внутренней энергии газа и совершение им работы по подъему поршня, а также на нагрев сосуда (т. к. процесс происходит медленно, то кинетической энергией, приобретаемой поршнем, можно пренебречь). Запишем уравнение теплового баланса для бесконечно малых изменений температуры, учитывая, что работа по подъему поршня складывается из трех частей: работы по увеличению его потенциальной энергии $(Mgdl)$, работы против силы внешнего давления $(p_{0}Sdl)$ и работы против силы трения $(Fdl): qdt = c_{V} dt + (Mg + p_{0}S + F) dt + CdT$, где $dT$ и $dl$ - изменение температуры и смещение поршня за бесконечно малое время $dt$.
Работа против сил трения, в свою очередь, рассеивается в виде тепла, т.е. идет на нагревание рассматриваемой системы, что можно записать следующим образом: $Fdl = c_{V}dT^{ \prime} + CdT^{ \prime} + (Mg + p_{0}S)dl^{ \prime} + Fdl^{ \prime}$, где $dl^{ \prime}$ и $dT^{ \prime}$ - "дополнительные" смещение поршня и изменение температуры. Связь между ними можно получить из уравнения состояния одного моля идеального газа: $pS dl^{ \prime} = RdT^{ \prime}$. Тогда
$dT^{ \prime} = dT \frac{FR}{pS} \frac{1}{c_{V} + C + \frac{Mg + p_{0}S + F}{pS} R}$.
Повторяя эти рассуждения, можно прийти к выводу, что общее повышение температуры $dT_{0}$ от первоначального нагрева $qdt$ определяется как сумма геометрической прогрессии с первым членом $dT$ и знаменателем $\phi = \frac{FR}{pS} \frac{1}{c_{V} + C + \frac{Mg + p_{0}S + F}{pS} R}$, т.е. $dT_{0} = dT/(1 - \phi)$. Тогда итоговое уравнение энергетического баланса за малое время $dt$ запишется в виде:
$qdt = (c_{V} + C)dT_{0} + (Mg + p_{0}S)dl_{0}$, или $qdT = \frac{ c_{V} + C + \frac{Mg + p_{0}S + F}{pS} R }{ \phi} dT_{0}$, откуда по определению теплоемкости после несложных преобразований, учитывая условия $Mg + F + p_{0}S = pS$ и $c_{V} = 3/2R$, получаем окончательный ответ.
Ответ: $c = \left ( \frac{3}{2} R + C \right ) \left ( 1 + \frac{Mg + p_{0}S}{ Mg + p_{0}S + F} \cdot \frac{R}{ \frac{5}{2} R + C} \right )$
