Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2310
2017-03-08 
В вертикально расположенном цилиндрическом сосуде с площадью основания $S$ под поршнем массы $M$ находится 1 моль идеального одноатомного газа. В начальном состоянии поршень находится на высоте $2h$ от дна сосуда. Газ медленно охлаждают до тех пор, пока поршень не опустится до высоты $h$, а затем медленно нагревают до достижения поршнем исходной высоты. Определите среднюю теплоемкость газа в процессе нагревания, если между поршнем и стенками сосуда действует сила сухого трения скольжения $F$. Атмосферное давление $p_{0}$.
Решение:
рис.1
рис.2
Т.к. охлаждение газа проводится медленно, то движение поршня вниз происходит квазиста-тически и сумма сил, действующих на него, равна нулю. Это условие запишется в виде $p_{1} S = p_{0}S + Mg - F$ (см. рис.1). Здесь $p_{1}$ - давление газа под поршнем. Очевидно, что давление $p_{1}$ будет под поршнем и в момент начала нагревания.
Для того, чтобы поршень двигался вверх, необходимо, чтобы давление под ним удовлетворяло соотношению $p_{2} S = p_{0} S + Mg + F$ (см. рис. 2). Таким образом, процесс нагревания состоит из двух: изохорного нагревания, при котором давление увеличивается от $p_{1}$ до $p_{2}$, и изобарного нагревания, при котором объем увеличивается в два раза.
Пусть температура газа перед началом нагревания $T_{1}$. Тогда по закону Гей-Люссака изменение температуры в изохорном процессе составит
$\Delta T_{1} = T_{1}(( p_{0}S + Mg + F)/(p_{0}S + Mg - F)-1) = 2FT_{1}/(p_{0}S + Mg - F)$,
а газ получит количество теплоты $Q_{1} = C_{V} \Delta T_{1}$.
Т.к. в изобарном процессе объем газа увеличился вдвое, то и температура также увеличилась вдвое, поэтому изменение температуры в изобарном процессе
$\Delta T_{2} = T_{1} + \Delta T_{1} = T_{1} ((p_{0} S + Mg + F)/(p_{0}S + Mg - F)$,
а газ получил количество теплоты $Q_{2} = C_{p} \Delta T_{2}$.
По определению, средняя теплоемкость газа в процессе нагревания равна $C=(Q_{1} + Q_{2})/( \Delta T_{1} + \Delta T_{2})$. Подставив найденные значения и проведя необходимые преобразования, а также учтя соотношение Майера, получим
$C = \frac{(3C_{V} + R) \frac{F}{p_{0}S + Mg} + C_{V} + R}{3 \frac{F}{p_{0}S + Mg} + 1}$
Учитывая, что для идеального одноатомного газа $C_{V}=3R$, это соотношение можно упростить, придя к окончательному ответу.
Ответ: $C = \frac{ \frac{11F}{p_{0}S + Mg} + 5}{ \frac{6F}{p_{0}S + Mg} + 2} R$
В вертикально расположенном цилиндрическом сосуде с площадью основания $S$ под поршнем массы $M$ находится 1 моль идеального одноатомного газа. В начальном состоянии поршень находится на высоте $2h$ от дна сосуда. Газ медленно охлаждают до тех пор, пока поршень не опустится до высоты $h$, а затем медленно нагревают до достижения поршнем исходной высоты. Определите среднюю теплоемкость газа в процессе нагревания, если между поршнем и стенками сосуда действует сила сухого трения скольжения $F$. Атмосферное давление $p_{0}$.
Решение:
рис.1
рис.2
Т.к. охлаждение газа проводится медленно, то движение поршня вниз происходит квазиста-тически и сумма сил, действующих на него, равна нулю. Это условие запишется в виде $p_{1} S = p_{0}S + Mg - F$ (см. рис.1). Здесь $p_{1}$ - давление газа под поршнем. Очевидно, что давление $p_{1}$ будет под поршнем и в момент начала нагревания.
Для того, чтобы поршень двигался вверх, необходимо, чтобы давление под ним удовлетворяло соотношению $p_{2} S = p_{0} S + Mg + F$ (см. рис. 2). Таким образом, процесс нагревания состоит из двух: изохорного нагревания, при котором давление увеличивается от $p_{1}$ до $p_{2}$, и изобарного нагревания, при котором объем увеличивается в два раза.
Пусть температура газа перед началом нагревания $T_{1}$. Тогда по закону Гей-Люссака изменение температуры в изохорном процессе составит
$\Delta T_{1} = T_{1}(( p_{0}S + Mg + F)/(p_{0}S + Mg - F)-1) = 2FT_{1}/(p_{0}S + Mg - F)$,
а газ получит количество теплоты $Q_{1} = C_{V} \Delta T_{1}$.
Т.к. в изобарном процессе объем газа увеличился вдвое, то и температура также увеличилась вдвое, поэтому изменение температуры в изобарном процессе
$\Delta T_{2} = T_{1} + \Delta T_{1} = T_{1} ((p_{0} S + Mg + F)/(p_{0}S + Mg - F)$,
а газ получил количество теплоты $Q_{2} = C_{p} \Delta T_{2}$.
По определению, средняя теплоемкость газа в процессе нагревания равна $C=(Q_{1} + Q_{2})/( \Delta T_{1} + \Delta T_{2})$. Подставив найденные значения и проведя необходимые преобразования, а также учтя соотношение Майера, получим
$C = \frac{(3C_{V} + R) \frac{F}{p_{0}S + Mg} + C_{V} + R}{3 \frac{F}{p_{0}S + Mg} + 1}$
Учитывая, что для идеального одноатомного газа $C_{V}=3R$, это соотношение можно упростить, придя к окончательному ответу.
Ответ: $C = \frac{ \frac{11F}{p_{0}S + Mg} + 5}{ \frac{6F}{p_{0}S + Mg} + 2} R$
