Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2309
2017-03-08 
Тепловой двигатель работает по циклу, состоящему из двух изохор и двух адиабат (см. рис.). Температура рабочего тела (одноатомного идеального газа) в точках 1, 2 и 4 равна соответственно $T_{1} = 524 К, T_{2} = 786 К$ и $T_{4} = 300 К$. Найдите температуру в точке 3 и коэффициент полезного действия двигателя.
Решение:
Из уравнений адиабат 2-3 и 4-1: $p_{2}V_{2}^{ \gamma} = p_{3}V_{3}^{ \gamma}, p_{4}V_{4}^{ \gamma} = p_{1}V_{1}^{ \gamma}$, получаем:
$\frac{p_{3}}{p_{4}} = \frac{p_{2}}{p_{1}}$. (1)
Согласно уравнению Клапейрона для изохорных участков 1-2 и 3-4 имеем:
$\frac{p_{2}}{T_{2}} = \frac{p_{1}}{T_{1}}, \Rightarrow \frac{p_{2}}{p_{1}} = \frac{T_{2}}{T_{1}}$, (2)
$\frac{p_{3}}{T_{3}} = \frac{p_{4}}{T_{4}}, \Rightarrow \frac{p_{3}}{p_{4}} = \frac{T_{3}}{T_{4}}$, (2)
Подставив (2) и (3) в (1), найдем температуру $T_{3}$:
$T_{3} = T_{4} \frac{T_{2}}{T_{1}} = 300 \frac{786}{524} = 450 К$.
Для определения к.п.д. двигателя нужно вычислить работу $A$, совершаемую газом за цикл, и количество теплоты $Q_{1}$, получаемое газом от нагревателя.
$A = A_{23} + A_{41} = -( \Delta U_{23} + \Delta U_{41}) = - \frac{3}{2} \nu R [(T_{3} - T_{2}) + (T_{1} - T_{4})] = \frac{3}{2} \nu R [(T_{2} - T_{3})+(T_{4} - T_{1})]$.
Газ нагревается, получая энергию от нагревателя на участке 1-2. Поэтому $Q_{1} = \Delta U_{12} = \frac{3}{2} \nu R (T_{2} - T_{1})$.
К. п. д. двигателя
$\eta = \frac{ \frac{3}{2} \nu R [(T_{2} - T_{3}) + (T_{4} - T_{1})]}{ \frac{3}{2} \nu R (T_{2} - T_{1})} = \frac{(T_{2} - T_{1}) - (T_{3} - T_{4})}{(T_{2} - T_{1})} = 1 - \frac{T_{3} - T_{4}}{T_{2} - T_{1}} \approx 0,43$.
Ответ: $450 К, 43%$.
Тепловой двигатель работает по циклу, состоящему из двух изохор и двух адиабат (см. рис.). Температура рабочего тела (одноатомного идеального газа) в точках 1, 2 и 4 равна соответственно $T_{1} = 524 К, T_{2} = 786 К$ и $T_{4} = 300 К$. Найдите температуру в точке 3 и коэффициент полезного действия двигателя.
Решение:
Из уравнений адиабат 2-3 и 4-1: $p_{2}V_{2}^{ \gamma} = p_{3}V_{3}^{ \gamma}, p_{4}V_{4}^{ \gamma} = p_{1}V_{1}^{ \gamma}$, получаем:
$\frac{p_{3}}{p_{4}} = \frac{p_{2}}{p_{1}}$. (1)
Согласно уравнению Клапейрона для изохорных участков 1-2 и 3-4 имеем:
$\frac{p_{2}}{T_{2}} = \frac{p_{1}}{T_{1}}, \Rightarrow \frac{p_{2}}{p_{1}} = \frac{T_{2}}{T_{1}}$, (2)
$\frac{p_{3}}{T_{3}} = \frac{p_{4}}{T_{4}}, \Rightarrow \frac{p_{3}}{p_{4}} = \frac{T_{3}}{T_{4}}$, (2)
Подставив (2) и (3) в (1), найдем температуру $T_{3}$:
$T_{3} = T_{4} \frac{T_{2}}{T_{1}} = 300 \frac{786}{524} = 450 К$.
Для определения к.п.д. двигателя нужно вычислить работу $A$, совершаемую газом за цикл, и количество теплоты $Q_{1}$, получаемое газом от нагревателя.
$A = A_{23} + A_{41} = -( \Delta U_{23} + \Delta U_{41}) = - \frac{3}{2} \nu R [(T_{3} - T_{2}) + (T_{1} - T_{4})] = \frac{3}{2} \nu R [(T_{2} - T_{3})+(T_{4} - T_{1})]$.
Газ нагревается, получая энергию от нагревателя на участке 1-2. Поэтому $Q_{1} = \Delta U_{12} = \frac{3}{2} \nu R (T_{2} - T_{1})$.
К. п. д. двигателя
$\eta = \frac{ \frac{3}{2} \nu R [(T_{2} - T_{3}) + (T_{4} - T_{1})]}{ \frac{3}{2} \nu R (T_{2} - T_{1})} = \frac{(T_{2} - T_{1}) - (T_{3} - T_{4})}{(T_{2} - T_{1})} = 1 - \frac{T_{3} - T_{4}}{T_{2} - T_{1}} \approx 0,43$.
Ответ: $450 К, 43%$.
