Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2300
2017-03-08 
Центр тяжести шарика радиуса $r$ находится на расстоянии $h$ от его геометрического центра. Шарик установлен на внутреннюю поверхность неподвижно закрепленной сферы радиуса $R$ так, что его центр тяжести находится над геометрическим центром (см. рис.). На плоскости безразмерных параметров ($h/r, R/r$) изобразите область устойчивости такого положения равновесия.
Решение:
Пусть шарик отклонился вправо от положения равновесия так, что угол между прямой, соеиняющей его центр $O$ с центром сферы $O_{1}$ и вертикалью $\angle AO_{1}B$ на рис.) равен $\phi, \phi \ll 1$. Очевидно, что положение равновесия будет устойчивым, если вертикаль, проведенная из центра тяжести шарика С, пройдет левее точки касания шарика со сферой В, и неустойчивым в противном случае.
Пусть D - точка поверхности шарика, касавшаяся сферы в состоянии равновесия. Поскольку шарик катится по сфере без проскальзывания, дуги АВ и DВ равны, поэтому $R \phi = r \phi^{ \prime}$ (где $\phi^{ \prime}$ - величина $ \angle DOB$). Подсчитаем расстояние от центра шара до т. $F$ - точки пересечения прямой $OC$ и вертикали, проведенной через т. $B$.
Несложно видеть, что $\angle OFB = \angle EOC = \angle DOB - \angle DON = \phi^{ \prime} - \phi = \phi (R/r - 1)$. Из треугольника $OFB$ по Т. синусов $r/OF = [ \sin \phi (R/r-1)]$. Учитывая, что при малых углах $\sin \phi \approx \phi$, условие устойчивости равновесия $OF > h$ можно переписать в виде $r/h > R/r -1$. На плоскости $(h/r, R/r)$ это условие задает область, ограниченную координатными осями и гиперболой $R/r=1/(h/r+1)$, при этом необходимо учесть естественные условия $h/r \leq 1, R/r \geq 1$ (см. рис.).
Центр тяжести шарика радиуса $r$ находится на расстоянии $h$ от его геометрического центра. Шарик установлен на внутреннюю поверхность неподвижно закрепленной сферы радиуса $R$ так, что его центр тяжести находится над геометрическим центром (см. рис.). На плоскости безразмерных параметров ($h/r, R/r$) изобразите область устойчивости такого положения равновесия.
Решение:
Пусть шарик отклонился вправо от положения равновесия так, что угол между прямой, соеиняющей его центр $O$ с центром сферы $O_{1}$ и вертикалью $\angle AO_{1}B$ на рис.) равен $\phi, \phi \ll 1$. Очевидно, что положение равновесия будет устойчивым, если вертикаль, проведенная из центра тяжести шарика С, пройдет левее точки касания шарика со сферой В, и неустойчивым в противном случае.
Пусть D - точка поверхности шарика, касавшаяся сферы в состоянии равновесия. Поскольку шарик катится по сфере без проскальзывания, дуги АВ и DВ равны, поэтому $R \phi = r \phi^{ \prime}$ (где $\phi^{ \prime}$ - величина $ \angle DOB$). Подсчитаем расстояние от центра шара до т. $F$ - точки пересечения прямой $OC$ и вертикали, проведенной через т. $B$.
Несложно видеть, что $\angle OFB = \angle EOC = \angle DOB - \angle DON = \phi^{ \prime} - \phi = \phi (R/r - 1)$. Из треугольника $OFB$ по Т. синусов $r/OF = [ \sin \phi (R/r-1)]$. Учитывая, что при малых углах $\sin \phi \approx \phi$, условие устойчивости равновесия $OF > h$ можно переписать в виде $r/h > R/r -1$. На плоскости $(h/r, R/r)$ это условие задает область, ограниченную координатными осями и гиперболой $R/r=1/(h/r+1)$, при этом необходимо учесть естественные условия $h/r \leq 1, R/r \geq 1$ (см. рис.).
