Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2299
2017-03-08 
Математический маятник в виде невесомого стержня с грузом массы $m$ находится вблизи верхнего (неустойчивого) положения равновесия (рис. а). Маятник может совершать движения только в плоскости, перпендикулярной рисунку. Его прикрепляют к двум пружинам жесткости $k$ так, как показано на рис. б. Пружины не деформированы, когда маятник находится точно в верхнем положении равновесия. Маятник смещают на очень малое расстояние перпендикулярно плоскости рисунка и отпускают (рис. в). Найдите размах колебаний маятника. Считайте, что смещение маятника мало по сравнению с его длиной $L$ и длинами недеформи-рованных пружин $l$.
(Указание. Используйте, что при малых $x$ и $\alpha$ справедливы соотношения $(1+x)^{ \alpha} \approx 1 + ax$ и $\cos \alpha \approx 1 - \alpha^{2} / 2$).
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
При малом отклонении от положения равновесия на маятник действуют силы тяжести, сила реакции опоры со стороны стержня и силы упругости со стороны пружин. Поскольку отклонения малы, то можно считать, что пружины остаются горизонтальными.
Равнодействующую сил тяжести и реакции стержня несложно найти аналогично стандартной задаче о математическом маятнике: $T_{1} = mgx/L$, (см. рис.1), обратите внимание на отсутствие знака "-" перед смещением $x$.
Определим равнодействующую сил упругости со стороны пружин (см. рис.2). Удлинение каждой из пружин $\Delta l = \sqrt{ l^{2} + x^{2}} - l \approx \frac{x^{2}}{2l}$. Тогда из очевидных геометрических соображений с учетом малости отклонения имеем $T_{2} = - \frac{kx^{3}}{l^{2}}$.
Считая, что силы $\vec{T}_{1}$ и $\vec{T}_{2}$ действуют вдоль одной прямой, запишем выражение для силы, возникающей при малом отклонении от положения равновесия:
$F(x) = mg \frac{x}{L} - k \frac{x^{3}}{l^{2}}$.
При очень малых значениях $x$ преобладает первое слагаемое и сила стремится увеличить отклонение, поэтому центральное положение $x=0$ является неустойчивым. При дальнейшем увеличении отклонения второе слагаемое возрастает быстрее, чем первое, и при $x_{0} = l \sqrt{ \frac{mg}{kL}}$ сила становится равной нулю. Это еще одно положение равновесия маятника, причем оно устойчиво. Это становится очевидным из графика зависимости потенциальной энергии маятника от отклонения (рис.3), аналитический вид которого несложно получить интегрированием выражения для силы (константу интегрирования, равную значению потенциальной энергии при $x=0$, положим равной нулю):
$E_{p} = - mg \frac{x^{2}}{2L} + k \frac{x^{4}}{4l^{2}}$
Поскольку система консервативна, маятник пройдет положение равновесия и продолжит отклоняться до тех пор, пока его потенциальная энергия не достигнет первоначального значения. Несложно видеть, что это произойдет при $x = \sqrt{2} x_{0}$. Затем процесс повторится в обратном порядке.
Ответ: $l \sqrt{ \frac{2mg}{kL}}$
Математический маятник в виде невесомого стержня с грузом массы $m$ находится вблизи верхнего (неустойчивого) положения равновесия (рис. а). Маятник может совершать движения только в плоскости, перпендикулярной рисунку. Его прикрепляют к двум пружинам жесткости $k$ так, как показано на рис. б. Пружины не деформированы, когда маятник находится точно в верхнем положении равновесия. Маятник смещают на очень малое расстояние перпендикулярно плоскости рисунка и отпускают (рис. в). Найдите размах колебаний маятника. Считайте, что смещение маятника мало по сравнению с его длиной $L$ и длинами недеформи-рованных пружин $l$.
(Указание. Используйте, что при малых $x$ и $\alpha$ справедливы соотношения $(1+x)^{ \alpha} \approx 1 + ax$ и $\cos \alpha \approx 1 - \alpha^{2} / 2$).
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
При малом отклонении от положения равновесия на маятник действуют силы тяжести, сила реакции опоры со стороны стержня и силы упругости со стороны пружин. Поскольку отклонения малы, то можно считать, что пружины остаются горизонтальными.
Равнодействующую сил тяжести и реакции стержня несложно найти аналогично стандартной задаче о математическом маятнике: $T_{1} = mgx/L$, (см. рис.1), обратите внимание на отсутствие знака "-" перед смещением $x$.
Определим равнодействующую сил упругости со стороны пружин (см. рис.2). Удлинение каждой из пружин $\Delta l = \sqrt{ l^{2} + x^{2}} - l \approx \frac{x^{2}}{2l}$. Тогда из очевидных геометрических соображений с учетом малости отклонения имеем $T_{2} = - \frac{kx^{3}}{l^{2}}$.
Считая, что силы $\vec{T}_{1}$ и $\vec{T}_{2}$ действуют вдоль одной прямой, запишем выражение для силы, возникающей при малом отклонении от положения равновесия:
$F(x) = mg \frac{x}{L} - k \frac{x^{3}}{l^{2}}$.
При очень малых значениях $x$ преобладает первое слагаемое и сила стремится увеличить отклонение, поэтому центральное положение $x=0$ является неустойчивым. При дальнейшем увеличении отклонения второе слагаемое возрастает быстрее, чем первое, и при $x_{0} = l \sqrt{ \frac{mg}{kL}}$ сила становится равной нулю. Это еще одно положение равновесия маятника, причем оно устойчиво. Это становится очевидным из графика зависимости потенциальной энергии маятника от отклонения (рис.3), аналитический вид которого несложно получить интегрированием выражения для силы (константу интегрирования, равную значению потенциальной энергии при $x=0$, положим равной нулю):
$E_{p} = - mg \frac{x^{2}}{2L} + k \frac{x^{4}}{4l^{2}}$
Поскольку система консервативна, маятник пройдет положение равновесия и продолжит отклоняться до тех пор, пока его потенциальная энергия не достигнет первоначального значения. Несложно видеть, что это произойдет при $x = \sqrt{2} x_{0}$. Затем процесс повторится в обратном порядке.
Ответ: $l \sqrt{ \frac{2mg}{kL}}$
