Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2298
2017-03-08 
Шарнирная конструкция в виде квадрата лежит на гладком горизонтальном столе и скреплена с ним в вершине А (см. рис.). Шарниры В и С соединены пружиной жесткости $k$. Найдите период малых колебаний системы, если массами пружин, стержней, шарниров В и С по сравнению с массой $m$ шарнира Н можно пренебречь, а трение всюду отсутствует.
Решение:
Воспользуемся законом сохранения механической энергии при гармонических колебаниях. Пусть в некоторый момент времени масса $m$ смещена из своего первоначального положения к центру квадрата на $x=OH$ (см. рис.) и имеет скорость $\dot{x}$. При этом две смежные с $H$ вершины смещены на расстояния $\Delta y$, которые находим из теоремы Пифагора: $a^{2} = \left ( \frac{a}{ \sqrt{2}} + \Delta y \right )^{2} + \left ( \frac{a}{ \sqrt{2}} - x \right )^{2}$.
Проводя тождественные преобразования и пренебрегая величиной $( \Delta y)^{2}$ как бесконечно малой второго порядка, получим $\Delta y = x$. Следовательно, в этот момент времени пружина деформирована на величину $\Delta l = 2 \Delta y = 2x$. Полная механическая энергия системы складывается из кинетической энергии точки $m$ и потенциальной энергии упругой деформации пружины:
$W = \frac{m(x)^{2}}{2} + \frac{k(2x)^{2}}{2} = \frac{m(x)^{2}}{2} + 2kx^{2} = const$.
Беря производную от $W$, получим:
$\frac{m2 \dot{x} \ddot{x} }{2} + 4kx \dot{x} =0$,
или, после очевидных преобразований:
$\ddot{x} + \frac{4k}{m} x = 0$.
Это уравнение гармонических колебаний, круговая частота которых удовлетворяет условию $\omega_{0}^{2} = \frac{4k}{m}$. Поэтому искомый период определится как $T = \frac{2 \pi}{ \omega_{0}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{4k}} = \pi \sqrt{ \frac{m}{k}}$.
Ответ: $T = 2 \pi \frac{m}{k}$.
Шарнирная конструкция в виде квадрата лежит на гладком горизонтальном столе и скреплена с ним в вершине А (см. рис.). Шарниры В и С соединены пружиной жесткости $k$. Найдите период малых колебаний системы, если массами пружин, стержней, шарниров В и С по сравнению с массой $m$ шарнира Н можно пренебречь, а трение всюду отсутствует.
Решение:
Воспользуемся законом сохранения механической энергии при гармонических колебаниях. Пусть в некоторый момент времени масса $m$ смещена из своего первоначального положения к центру квадрата на $x=OH$ (см. рис.) и имеет скорость $\dot{x}$. При этом две смежные с $H$ вершины смещены на расстояния $\Delta y$, которые находим из теоремы Пифагора: $a^{2} = \left ( \frac{a}{ \sqrt{2}} + \Delta y \right )^{2} + \left ( \frac{a}{ \sqrt{2}} - x \right )^{2}$.
Проводя тождественные преобразования и пренебрегая величиной $( \Delta y)^{2}$ как бесконечно малой второго порядка, получим $\Delta y = x$. Следовательно, в этот момент времени пружина деформирована на величину $\Delta l = 2 \Delta y = 2x$. Полная механическая энергия системы складывается из кинетической энергии точки $m$ и потенциальной энергии упругой деформации пружины:
$W = \frac{m(x)^{2}}{2} + \frac{k(2x)^{2}}{2} = \frac{m(x)^{2}}{2} + 2kx^{2} = const$.
Беря производную от $W$, получим:
$\frac{m2 \dot{x} \ddot{x} }{2} + 4kx \dot{x} =0$,
или, после очевидных преобразований:
$\ddot{x} + \frac{4k}{m} x = 0$.
Это уравнение гармонических колебаний, круговая частота которых удовлетворяет условию $\omega_{0}^{2} = \frac{4k}{m}$. Поэтому искомый период определится как $T = \frac{2 \pi}{ \omega_{0}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{4k}} = \pi \sqrt{ \frac{m}{k}}$.
Ответ: $T = 2 \pi \frac{m}{k}$.
