Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2297
2017-03-08 
Определите максимальное ускорение, с которым заднеприводный автомобиль с расстоянием между осями $L=1,2 м$, центр тяжести которого расположен на высоте $h=1 м$ от земли посередине между осями, может начать двигаться, если он находится а) на льду, б) на асфальте. Коэффициент трения скольжения колес по льду 0,1; по асфальту 0,7.
Решение:
На автомобиль действуют сила тяжести $M \vec{g}$, приложенная к его центру масс, и силы реакции опоры на передние и задние колеса $\vec{N}_{1}$ и $\vec{N}_{2}$ соответственно (рис.). Кроме того, на задние колеса действует сила трения $\vec{F}_{тр}$, являющаяся силой трения покоя и направленная по направлению движения автомобиля (это становится очевидным, если заметить, что нижняя точка колеса неподвижна относительно земли, а действующий на колесо со стороны двигателя момент сил стремится сдвинуть ее против направления движения автомобиля). Именно эта сила трения покоя и движет автомобиль вперед. В то же время на переднее колесо не действуют ни сила трения покоя, ни сила трения скольжения, т.к. оно катится без проскальзывания и не приводится во вращение мотором.
Записав второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную и горизонтальную ось и уравнение моментов относительно т.А, являющейся точкой пересечения проведенной через центр тяжести горизонтали и проведенной через ось заднего колеса вертикали (см. рис. 34), получим систему уравнений, описывающую движение автомобиля:
$\begin{cases} F_{тр} = Ma_{max} \\ N_{1} + N_{2} = Mg \\ N_{1} L + F_{тр} h = Mg \frac{L}{2} \end{cases}$ (1)
Учитывая, что сила трения покоя $F_{тр} \leq \mu N_{2}$, можно прийти к системе неравенств, ограничивающих значение ускорения:
$\begin{cases} a \leq \mu \frac{N_{2}}{M} \\ a \leq \left ( \frac{N_{2}}{M} - \frac{g}{2} \right ) \frac{L}{h} \end{cases}$ (2)
При нарушении первого условия системы (2) задние колеса начнут проскальзывать, а при нарушении второго условия нарушится третье уравнение системы (1), суммарный момент сил $\vec{N}_{1}$ и $\vec{F}_{тр}$ превысит момент силы тяжести и автомобиль опрокинется назад.
Поскольку правые части неравенств системы (2) прямо пропорциональны силе $N_{2}$, то максимальное ускорение достигается при ее максимальном значении. Очевидно, что оно равно значению силы тяжести, тогда (2) принимает вид
$\begin{cases} a \leq \mu g \\ a \leq \frac{L}{2h} g \end{cases}$. (2)
Непосредственным вычислением несложно убедиться, что при $\mu = 0,1$ существенным оказывается первое неравенство, а при $\mu = 0,7$ - второе.
Ответ: а)$1 м/с^{2}$, б) $6 м/с^{2}$.
Определите максимальное ускорение, с которым заднеприводный автомобиль с расстоянием между осями $L=1,2 м$, центр тяжести которого расположен на высоте $h=1 м$ от земли посередине между осями, может начать двигаться, если он находится а) на льду, б) на асфальте. Коэффициент трения скольжения колес по льду 0,1; по асфальту 0,7.
Решение:
На автомобиль действуют сила тяжести $M \vec{g}$, приложенная к его центру масс, и силы реакции опоры на передние и задние колеса $\vec{N}_{1}$ и $\vec{N}_{2}$ соответственно (рис.). Кроме того, на задние колеса действует сила трения $\vec{F}_{тр}$, являющаяся силой трения покоя и направленная по направлению движения автомобиля (это становится очевидным, если заметить, что нижняя точка колеса неподвижна относительно земли, а действующий на колесо со стороны двигателя момент сил стремится сдвинуть ее против направления движения автомобиля). Именно эта сила трения покоя и движет автомобиль вперед. В то же время на переднее колесо не действуют ни сила трения покоя, ни сила трения скольжения, т.к. оно катится без проскальзывания и не приводится во вращение мотором.
Записав второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную и горизонтальную ось и уравнение моментов относительно т.А, являющейся точкой пересечения проведенной через центр тяжести горизонтали и проведенной через ось заднего колеса вертикали (см. рис. 34), получим систему уравнений, описывающую движение автомобиля:
$\begin{cases} F_{тр} = Ma_{max} \\ N_{1} + N_{2} = Mg \\ N_{1} L + F_{тр} h = Mg \frac{L}{2} \end{cases}$ (1)
Учитывая, что сила трения покоя $F_{тр} \leq \mu N_{2}$, можно прийти к системе неравенств, ограничивающих значение ускорения:
$\begin{cases} a \leq \mu \frac{N_{2}}{M} \\ a \leq \left ( \frac{N_{2}}{M} - \frac{g}{2} \right ) \frac{L}{h} \end{cases}$ (2)
При нарушении первого условия системы (2) задние колеса начнут проскальзывать, а при нарушении второго условия нарушится третье уравнение системы (1), суммарный момент сил $\vec{N}_{1}$ и $\vec{F}_{тр}$ превысит момент силы тяжести и автомобиль опрокинется назад.
Поскольку правые части неравенств системы (2) прямо пропорциональны силе $N_{2}$, то максимальное ускорение достигается при ее максимальном значении. Очевидно, что оно равно значению силы тяжести, тогда (2) принимает вид
$\begin{cases} a \leq \mu g \\ a \leq \frac{L}{2h} g \end{cases}$. (2)
Непосредственным вычислением несложно убедиться, что при $\mu = 0,1$ существенным оказывается первое неравенство, а при $\mu = 0,7$ - второе.
Ответ: а)$1 м/с^{2}$, б) $6 м/с^{2}$.
