Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2292
2017-03-08 
К вбитому в стену гвоздю на невесомой нерастяжимой нити длины $L$ подвешен маленький тяжелый груз. Под гвоздем на расстоянии $l$ от нижнего положения груза ($l < L$) вбит еще один гвоздь. Груз отклоняют вправо так, что нить образует острый угол $\alpha$ с вертикалью (см. рис.), и отпускают без начальной скорости. Перечислите все возможные качественно различные типы поведения этой системы и изобразите соответствующие им области на плоскости безразмерных параметров $(l/L, \cos \alpha)$. Потерями энергии пренебречь.
Решение:
Сразу очевидны три качественно различных ситуации: когда нить закручивается вокруг нижнего гвоздя, при этом грузик движется по окружности; когда грузик совершает колебания и нить все время остается натянутой и "промежуточный" вариант.
Нить все время остается натянутой, если отклонение грузика влево не превышает $90^{ \circ}$. Тогда по закону сохранения энергии $mgL(1 - \cos \alpha) < mgl$, откуда получаем условие $l/L > 1- \cos \alpha$.
Для того, чтобы грузик закручивался вокруг нижнего гвоздя и нить все время оставалась натянутой, необходимо, чтобы сила натяжения нити в верхней точке траектории была больше нуля, т.е. $mv^{2}/l > mg$, тогда по закону сохранения энергии $mgL(1 - \cos \alpha) > mgl/2 + mgl$, откуда $l/L < 2/5(1 - \cos \alpha)$.
Промежуточный случай требует более подробного рассмотрения. Если грузик отклоняется вправо на угол, больший $90^{ \circ}$, но его энергии не хватает для движения по окружности, то в некоторый момент натяжение нити становится равным нулю. Пусть в этот момент угол между нитью и горизонталью составляет $\beta$ (см. рис.). Из условия равенства нулю силы натяжения нити получим $mv^{2}/l = mg \sin \beta$. В то же время по закону сохранения энергии $mv^{2}/2 = mgL ( 1 - \cos \alpha) - mgl(1 + \sin \beta)$, откуда получим выражение для угла $\beta: \sin \beta = 2/3(L/l(1 - \cos \alpha ) - 1)$.
Дальнейшее движение грузика в течение некоторого времени можно рассматривать как полет тела, брошенного под углом к горизонту. Возможны две качественно различных ситуации: когда грузик проходит над нижним гвоздем (в этом случае нить наматывается на гвоздь, но траектория грузика не является окружностью), и когда грузик проходит ниже этого гвоздя, при этом нить не наматывается, а грузик совершает сложные движения. Найдем условие, разграничивающее эти ситуации.
Пусть грузик оказывается на одной вертикали с гвоздем через время $t$. Тогда $v \sin \beta t = l \cos \beta$, откуда $t = l \cos \beta / v \sin \beta$. Грузик пройдет выше гвоздя и нить намотается на гвоздь, если $l \sin \beta + v \cos \beta t - gt^{2}/2 > 0$. Подставив $t$ и проведя некоторые преобразования с использованием ранее полученных соотношении, получим следующее неравенство: $l/L < 2/(2 + \sqrt{3})(1 - \cos \alpha)$.
Таким образом, окончательно имеем 4 различных ситуации: I - колебания по дуге окружности; II - сложное движение без закручивания нити вокруг гвоздя; III - нить закручивается вокруг гвоздя, шарик движется по сложноИ кривоИ; IV - шарик движется по спирали, нить закручивается вокруг гвоздя. Соответствующие им области представлены на рис.
К вбитому в стену гвоздю на невесомой нерастяжимой нити длины $L$ подвешен маленький тяжелый груз. Под гвоздем на расстоянии $l$ от нижнего положения груза ($l < L$) вбит еще один гвоздь. Груз отклоняют вправо так, что нить образует острый угол $\alpha$ с вертикалью (см. рис.), и отпускают без начальной скорости. Перечислите все возможные качественно различные типы поведения этой системы и изобразите соответствующие им области на плоскости безразмерных параметров $(l/L, \cos \alpha)$. Потерями энергии пренебречь.
Решение:
Сразу очевидны три качественно различных ситуации: когда нить закручивается вокруг нижнего гвоздя, при этом грузик движется по окружности; когда грузик совершает колебания и нить все время остается натянутой и "промежуточный" вариант.
Нить все время остается натянутой, если отклонение грузика влево не превышает $90^{ \circ}$. Тогда по закону сохранения энергии $mgL(1 - \cos \alpha) < mgl$, откуда получаем условие $l/L > 1- \cos \alpha$.
Для того, чтобы грузик закручивался вокруг нижнего гвоздя и нить все время оставалась натянутой, необходимо, чтобы сила натяжения нити в верхней точке траектории была больше нуля, т.е. $mv^{2}/l > mg$, тогда по закону сохранения энергии $mgL(1 - \cos \alpha) > mgl/2 + mgl$, откуда $l/L < 2/5(1 - \cos \alpha)$.
Промежуточный случай требует более подробного рассмотрения. Если грузик отклоняется вправо на угол, больший $90^{ \circ}$, но его энергии не хватает для движения по окружности, то в некоторый момент натяжение нити становится равным нулю. Пусть в этот момент угол между нитью и горизонталью составляет $\beta$ (см. рис.). Из условия равенства нулю силы натяжения нити получим $mv^{2}/l = mg \sin \beta$. В то же время по закону сохранения энергии $mv^{2}/2 = mgL ( 1 - \cos \alpha) - mgl(1 + \sin \beta)$, откуда получим выражение для угла $\beta: \sin \beta = 2/3(L/l(1 - \cos \alpha ) - 1)$.
Дальнейшее движение грузика в течение некоторого времени можно рассматривать как полет тела, брошенного под углом к горизонту. Возможны две качественно различных ситуации: когда грузик проходит над нижним гвоздем (в этом случае нить наматывается на гвоздь, но траектория грузика не является окружностью), и когда грузик проходит ниже этого гвоздя, при этом нить не наматывается, а грузик совершает сложные движения. Найдем условие, разграничивающее эти ситуации.
Пусть грузик оказывается на одной вертикали с гвоздем через время $t$. Тогда $v \sin \beta t = l \cos \beta$, откуда $t = l \cos \beta / v \sin \beta$. Грузик пройдет выше гвоздя и нить намотается на гвоздь, если $l \sin \beta + v \cos \beta t - gt^{2}/2 > 0$. Подставив $t$ и проведя некоторые преобразования с использованием ранее полученных соотношении, получим следующее неравенство: $l/L < 2/(2 + \sqrt{3})(1 - \cos \alpha)$.
Таким образом, окончательно имеем 4 различных ситуации: I - колебания по дуге окружности; II - сложное движение без закручивания нити вокруг гвоздя; III - нить закручивается вокруг гвоздя, шарик движется по сложноИ кривоИ; IV - шарик движется по спирали, нить закручивается вокруг гвоздя. Соответствующие им области представлены на рис.
