Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2287
2017-03-08 
Открытый сверху цилиндрический бак полностью наполнялся водой из крана за время $t_{1}$. Со временем в его дне образовалось небольшое отверстие, через которое вся вода из полностью наполненного бака при закрытом кране выливается за время $t_{2}$. Теперь пустой бак поставили под открытый кран на промежуток времени, много больший как $t_{2}$, так и $t_{1}$. За какое время выльется вся вода из бака, если кран закрыть? Скорость истечения воды из крана постоянна.
Решение:
Пусть высота бака равна $H$, его площадь основания - $S$, а площадь отверстия - $S_{0}$. Свяжем эти параметры с данными условия. Известно, что скорость истечения воды из отверстия под действием столба высотой $h$ определяется формулой $V = \sqrt{2gh}$. Тогда объемная скорость истечения воды из бака определяется формулой
$u_{2} = \frac{dV}{dt} = S \frac{dh}{dt} S_{0} \sqrt{2gh}$.
Поскольку за время $t_{2}$ вытекла вся вода, имеем следующее равенство:
$\frac{S}{S_{0}} \int_{H}^{0} \frac{dh}{ \sqrt{h}} = \int_{0}^{t_{2}} \sqrt{2g} dt$, (1)
откуда получаем следующее соотношение:
$\frac{S}{S_{0}} 2 \sqrt{H} = \sqrt{2gt_{2}}$ (2)
Пусть $u_{1}$ - объемная скорость истечения воды из крана, тогда имеет место следующее очевидное соотношение:
$SH = u_{1}t_{1}$ (3)
Очевидно, что за время, много большее $t_{1}$ и $t_{2}$, в системе установится равновесие, т.е. бак наполнится водой до того уровня, при котором скорость истечения воды через отверстие будет равна скорости $u_{1}$, т.е. $S_{0} \sqrt{2gh} = u_{1}$.
Из этого равенства с использованием (2) и (3) находим : $h_{0} = H \frac{t_{2}^{2}}{4t_{1}^{2}}$.
Теперь несложно определить время $t_{3}$, за которое выльется вода, налитая в бак до уровня $h_{0}$: $\frac{S}{S_{0}} \int_{H}^{0} \frac{dh}{ \sqrt{h}} = \int_{0}^{t_{3}} \sqrt{2g} dt$.
Откуда находим ответ: $t_{3} = \frac{t_{2}^{2}}{2t_{1}}$. Очевидно, что все приведенные рассуждения справедливы лишь в том случае, когда бак с отверстием не наполняется полностью, то есть $h_{0} < H$. В противном случае бак полностью наполняется и искомое время равно $t_{2}$.
Ответ: вся вода вытечет за время $t_{2}^{2} /2t_{1}$ при $t_{2} < 2t_{1}$ и за время $t_{2}$ в противном случае.
Открытый сверху цилиндрический бак полностью наполнялся водой из крана за время $t_{1}$. Со временем в его дне образовалось небольшое отверстие, через которое вся вода из полностью наполненного бака при закрытом кране выливается за время $t_{2}$. Теперь пустой бак поставили под открытый кран на промежуток времени, много больший как $t_{2}$, так и $t_{1}$. За какое время выльется вся вода из бака, если кран закрыть? Скорость истечения воды из крана постоянна.
Решение:
Пусть высота бака равна $H$, его площадь основания - $S$, а площадь отверстия - $S_{0}$. Свяжем эти параметры с данными условия. Известно, что скорость истечения воды из отверстия под действием столба высотой $h$ определяется формулой $V = \sqrt{2gh}$. Тогда объемная скорость истечения воды из бака определяется формулой
$u_{2} = \frac{dV}{dt} = S \frac{dh}{dt} S_{0} \sqrt{2gh}$.
Поскольку за время $t_{2}$ вытекла вся вода, имеем следующее равенство:
$\frac{S}{S_{0}} \int_{H}^{0} \frac{dh}{ \sqrt{h}} = \int_{0}^{t_{2}} \sqrt{2g} dt$, (1)
откуда получаем следующее соотношение:
$\frac{S}{S_{0}} 2 \sqrt{H} = \sqrt{2gt_{2}}$ (2)
Пусть $u_{1}$ - объемная скорость истечения воды из крана, тогда имеет место следующее очевидное соотношение:
$SH = u_{1}t_{1}$ (3)
Очевидно, что за время, много большее $t_{1}$ и $t_{2}$, в системе установится равновесие, т.е. бак наполнится водой до того уровня, при котором скорость истечения воды через отверстие будет равна скорости $u_{1}$, т.е. $S_{0} \sqrt{2gh} = u_{1}$.
Из этого равенства с использованием (2) и (3) находим : $h_{0} = H \frac{t_{2}^{2}}{4t_{1}^{2}}$.
Теперь несложно определить время $t_{3}$, за которое выльется вода, налитая в бак до уровня $h_{0}$: $\frac{S}{S_{0}} \int_{H}^{0} \frac{dh}{ \sqrt{h}} = \int_{0}^{t_{3}} \sqrt{2g} dt$.
Откуда находим ответ: $t_{3} = \frac{t_{2}^{2}}{2t_{1}}$. Очевидно, что все приведенные рассуждения справедливы лишь в том случае, когда бак с отверстием не наполняется полностью, то есть $h_{0} < H$. В противном случае бак полностью наполняется и искомое время равно $t_{2}$.
Ответ: вся вода вытечет за время $t_{2}^{2} /2t_{1}$ при $t_{2} < 2t_{1}$ и за время $t_{2}$ в противном случае.
