Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2284
2017-03-08 
На один конец легкого тонкого стержня нанизан шарик из свинца, на другой - шарик из алюминия. Стержень опирается серединой на острие и находится в горизонтальном равновесии в воде, при этом расстояние между центрами шариков $l=20 см$ и они расположены симметрично относительно точки опоры. В какую сторону и на какое расстояние нужно будет сдвинуть алюминиевый шарик для сохранения равновесия в воздухе? Плотность свинца $\rho_{1} = 11300 кг/м^{3}$ ,алюминия $\rho_{2} = 2700 кг/м^{3}$ , воды $\rho = 1000 кг/м^{3}$.
Решение:
Запишем условие равновесия системы в воде (т.к. стержень опирается на острие серединой, то моменты действующих на него сил тяжести и Архимеда можно не учитывать):
$(m_{1} g - F_{A_{1}} ) \frac{l}{2} = \left ( m_{2}g - F_{A_{2}} \right ) \frac{l}{2}$.
Здесь $m_{1} = \rho_{1} V_{1}, m_{2} = \rho_{2} V_{2}, F_{A_{1}} = \rho V_{1} g, F_{A_{2}} = \rho V_{2}g$. Следовательно, условие равновесия в воде можно представить в виде: $( \rho_{1} - \rho ) V_{1} g = ( \rho_{2} - \rho)) V_{2}g$.
Отсюда получаем, что $\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{ \rho_{1} - \rho}{ \rho_{2} - \rho}$.
Для сохранения равновесия системы в воздухе передвинем алюминиевый шарик ближе к свинцовому на некоторое расстояние $x$. Тогда условие равновесия в воздухе запишется в виде: $m_{1} g \frac{l}{2} = m_{2}g \left ( \frac{l}{2} - x \right )$.
Так как $m_{1} = \rho_{1} V_{1}, m_{2} = \rho_{2} V_{2}$, то $\rho_{1}V_{1} = \rho_{2}V_{2} \frac{l}{2} = \rho_{2}V_{2} \left ( \frac{l}{2} -x \right )$ и для соотношения объемов шариков получим:
$\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{ \rho_{1}l}{2 \rho_{2} \left ( \frac{l}{2} - x \right )}$.
Из записанных соотношений находим $\frac{ \rho_{1} l}{2 \rho_{2} \left ( \frac{l}{2} - x \right )} = \frac{ \rho_{1} - \rho}{ \rho_{2} - \rho}$, откуда получаем $x = \frac{l}{2} \frac{ \rho ( \rho_{1} - \rho_{2})}{ \rho_{2} ( \rho_{1} - \rho)} \approx 3,1 см$.
Ответ: на 3,1 см ближе к свинцовому.
На один конец легкого тонкого стержня нанизан шарик из свинца, на другой - шарик из алюминия. Стержень опирается серединой на острие и находится в горизонтальном равновесии в воде, при этом расстояние между центрами шариков $l=20 см$ и они расположены симметрично относительно точки опоры. В какую сторону и на какое расстояние нужно будет сдвинуть алюминиевый шарик для сохранения равновесия в воздухе? Плотность свинца $\rho_{1} = 11300 кг/м^{3}$ ,алюминия $\rho_{2} = 2700 кг/м^{3}$ , воды $\rho = 1000 кг/м^{3}$.
Решение:
Запишем условие равновесия системы в воде (т.к. стержень опирается на острие серединой, то моменты действующих на него сил тяжести и Архимеда можно не учитывать):
$(m_{1} g - F_{A_{1}} ) \frac{l}{2} = \left ( m_{2}g - F_{A_{2}} \right ) \frac{l}{2}$.
Здесь $m_{1} = \rho_{1} V_{1}, m_{2} = \rho_{2} V_{2}, F_{A_{1}} = \rho V_{1} g, F_{A_{2}} = \rho V_{2}g$. Следовательно, условие равновесия в воде можно представить в виде: $( \rho_{1} - \rho ) V_{1} g = ( \rho_{2} - \rho)) V_{2}g$.
Отсюда получаем, что $\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{ \rho_{1} - \rho}{ \rho_{2} - \rho}$.
Для сохранения равновесия системы в воздухе передвинем алюминиевый шарик ближе к свинцовому на некоторое расстояние $x$. Тогда условие равновесия в воздухе запишется в виде: $m_{1} g \frac{l}{2} = m_{2}g \left ( \frac{l}{2} - x \right )$.
Так как $m_{1} = \rho_{1} V_{1}, m_{2} = \rho_{2} V_{2}$, то $\rho_{1}V_{1} = \rho_{2}V_{2} \frac{l}{2} = \rho_{2}V_{2} \left ( \frac{l}{2} -x \right )$ и для соотношения объемов шариков получим:
$\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{ \rho_{1}l}{2 \rho_{2} \left ( \frac{l}{2} - x \right )}$.
Из записанных соотношений находим $\frac{ \rho_{1} l}{2 \rho_{2} \left ( \frac{l}{2} - x \right )} = \frac{ \rho_{1} - \rho}{ \rho_{2} - \rho}$, откуда получаем $x = \frac{l}{2} \frac{ \rho ( \rho_{1} - \rho_{2})}{ \rho_{2} ( \rho_{1} - \rho)} \approx 3,1 см$.
Ответ: на 3,1 см ближе к свинцовому.
