Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2283
2017-03-08 
Прибор для измерения плотности жидкости - ареометр - в простейшем случае представляет собой цилиндрическое тело, внутри нижней части которого закреплен груз, обеспечивающий устойчивое плавание ареометра в вертикальном положении, а на боковую поверхность нанесена шкала плотностей так, что при плавании ареометра в однородной жидкости он погружается точно до отметки, соответствующей ее плотности. В широкий и глубокий сосуд с водой поверх нее налит слой бензина толщиной $h=10 см$. Какую плотность покажет ареометр массой $M=10$ грамм, опущенный в этот сосуд? Как изменятся его показания, если толщину слоя бензина увеличить вдвое? Считайте, что диаметр ареометра намного меньше диаметра сосуда. Плотность воды $1,0 г/см^{3}$ , бензина $0,75 г/см^{3}$ , площадь поперечного сечения ареометра $1 см^{2}$.
Решение:
рис.1
рис.2
Введем обозначения $L$ - длина ареометра, $x$ - высота, на которую он выступает над поверхностью жидкости (см. рис.1), $S$ - площадь его поперечного сечения. Тогда при погружении в однородную жидкость плотностью $\rho$ имеет место очевидное соотношение $M= \rho S( L - x)$, из которого получаем градировочное соотношение $x_{ \rho}= L - \frac{M}{ \rho S}$. Оно фактически определяет, на каком расстоянии от верхнего края ареометра должна быть нанесена отметка, соответствующая плотности $\rho$.
Из этой формулы следует, что в чистый бензин ареометр погрузился бы на $L - x = 13 см$, следовательно, при толщине слоя $2h > 13см$ ареометр плавает только в бензине и, естественно, показывает его плотность. Если же толщина слоя $h < 13 см$, то часть ареометра погружена в воду (см. рис.2). В этом случае условие плавания имеет вид $M = S( \rho_{б}h + \rho_{в}(L - h - x_{1}))$, откуда имеем
$x_{1} = L - h \left (1 - \frac{ \rho_{б}}{ \rho_{в}} \right ) - \frac{M}{ \rho S} $.
В то же время в соответствии с градировочным соотношением ареометр показывает такую плотность $\rho_{x}$, что $x_{1} = L - \frac{M}{ \rho_{x} S}$. Приравнивая эти выражения, получаем $\rho_{x} = \rho_{в} \frac{M}{ hS ( \rho_{в} - \rho_{б}) + M}$. Подставляя числовые значения, имеем $\rho_{x} = 0,8 г/см^{3}$.
Заметим, что при удвоенной толщине слоя бензина эта формула дает очевидно неправильный ответ $0,66 г/см^{3}$.
Ответ: $0,8 г/см^{3}; 0,75 г/см^{3}$.
Прибор для измерения плотности жидкости - ареометр - в простейшем случае представляет собой цилиндрическое тело, внутри нижней части которого закреплен груз, обеспечивающий устойчивое плавание ареометра в вертикальном положении, а на боковую поверхность нанесена шкала плотностей так, что при плавании ареометра в однородной жидкости он погружается точно до отметки, соответствующей ее плотности. В широкий и глубокий сосуд с водой поверх нее налит слой бензина толщиной $h=10 см$. Какую плотность покажет ареометр массой $M=10$ грамм, опущенный в этот сосуд? Как изменятся его показания, если толщину слоя бензина увеличить вдвое? Считайте, что диаметр ареометра намного меньше диаметра сосуда. Плотность воды $1,0 г/см^{3}$ , бензина $0,75 г/см^{3}$ , площадь поперечного сечения ареометра $1 см^{2}$.
Решение:
рис.1
рис.2
Введем обозначения $L$ - длина ареометра, $x$ - высота, на которую он выступает над поверхностью жидкости (см. рис.1), $S$ - площадь его поперечного сечения. Тогда при погружении в однородную жидкость плотностью $\rho$ имеет место очевидное соотношение $M= \rho S( L - x)$, из которого получаем градировочное соотношение $x_{ \rho}= L - \frac{M}{ \rho S}$. Оно фактически определяет, на каком расстоянии от верхнего края ареометра должна быть нанесена отметка, соответствующая плотности $\rho$.
Из этой формулы следует, что в чистый бензин ареометр погрузился бы на $L - x = 13 см$, следовательно, при толщине слоя $2h > 13см$ ареометр плавает только в бензине и, естественно, показывает его плотность. Если же толщина слоя $h < 13 см$, то часть ареометра погружена в воду (см. рис.2). В этом случае условие плавания имеет вид $M = S( \rho_{б}h + \rho_{в}(L - h - x_{1}))$, откуда имеем
$x_{1} = L - h \left (1 - \frac{ \rho_{б}}{ \rho_{в}} \right ) - \frac{M}{ \rho S} $.
В то же время в соответствии с градировочным соотношением ареометр показывает такую плотность $\rho_{x}$, что $x_{1} = L - \frac{M}{ \rho_{x} S}$. Приравнивая эти выражения, получаем $\rho_{x} = \rho_{в} \frac{M}{ hS ( \rho_{в} - \rho_{б}) + M}$. Подставляя числовые значения, имеем $\rho_{x} = 0,8 г/см^{3}$.
Заметим, что при удвоенной толщине слоя бензина эта формула дает очевидно неправильный ответ $0,66 г/см^{3}$.
Ответ: $0,8 г/см^{3}; 0,75 г/см^{3}$.
