Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2279
2017-03-08 
На бесконечной прямой дороге расположено бесконечное количество светофоров так, что расстояние между соседними светофорами равно $L$. Каждый светофор в течение времени $T$ показывает красный свет, затем в течение времени $T$ - зеленый, затем опять красный и т.д., причем на двух соседних светофорах в любой момент времени горит разный цвет. Два автомобиля одновременно начинают движение с постоянными скоростями от двух светофоров, расположенных на расстоянии $2L$ друг от друга, в тот момент, когда на них загорается зеленый цвет. "Задний" автомобиль едет с максимально возможной скоростью, позволяющей проезжать все светофоры без остановок. "Передний" автомобиль движется с постоянной скоростью $v$. Он мгновенно останавливается, если подъезжает к светофору с горящим красным светом, и также мгновенно набирает скорость $v$ после загорания зеленого света. Определите, догонит ли "задний" автомобиль "передний" (и если да, то за какое время), если вышеперечисленные правила движения не нарушаются, а переключение светофоров происходит мгновенно.
Решение:
Решим данную задачу графическим способом.
На приведенной диаграмме (рис.) изображена "пространственно-временная картина дороги" (по горизонтальной оси отложено время, по вертикальной - расстояние). Жирным обозначены точки, соответствующие красному свету на светофоре в данной точке дороги в данный момент времени. Движение автомобиля изображается в виде прямой линии, тангенс угла наклона которой к оси времени равен его скорости. Если линия должна пересечь жирный отрезок ("закрытый светофор"), то она прерывается и возобновляется под тем же углом с правого конца данного отрезка (автомобиль остановился и дождался включения зеленого света). Пересечение двух изображающих линий соответствует встрече автомобилей.
Очевидно, что по условиям задачи "задний" автомобиль движется со скоростью $u = L/T$, поскольку это максимально возможная скорость, при которой изображающая линия не пересечет жирных отрезков (т.е. автомобиль не останавливается на светофорах).
Для движения второго автомобиля можно рассмотреть несколько "пограничных" изображающих линий.
1) Линия 1.
Соответствующая скорость $v_{1}=L/3T$. При этом автомобиль подъедет к следующему светофору в тот момент, когда на нем загорается зеленый свет, и в этот момент его и догонит "задний" автомобиль. При меньших скоростях обгон произойдет еще раньше и его время очевидным образом определится как $t=2L/(u-v)=2LT/(L-vT)$.
2) Линия 2.
Соответствующая скорость $v_{2} = L/2T$. Обгон произойдет в точке $3L$ в момент времени $3T$, так как первый автомобиль будет вынужден остановиться на светофоре. Таким образом, для всех скоростей между линиями 1 и 2 $t=3T$.
Аналогично для скоростей между линиями 2 и 3 (соответствующая скорость $v=2L/3T$ ) $t=4T$, и т.д.
3) Линия 4, соответствующая скорость $v=L/T=u$.
При скоростях больше, чем данная, второй автомобиль не сможет догнать первый, поскольку средняя скорость их обоих будет равна $u$.
Ответ: $t = \begin{cases} \frac{2LT}{LT-v} & \text{ при} 0 \leq v < \frac{L}{3T}, \\
3T & \text{ при} \frac{L}{3T} \leq v < \frac{L}{3T}, \\
nT, n \geq 4 & \text{ при} \frac{(n-3)L}{(n-2)T} \leq v < \frac{(n-2)L}{(n-1)T}, \\
\cdots
\infty & \text{ при} v \geq \frac{L}{T}. \\ \end{cases}$
На бесконечной прямой дороге расположено бесконечное количество светофоров так, что расстояние между соседними светофорами равно $L$. Каждый светофор в течение времени $T$ показывает красный свет, затем в течение времени $T$ - зеленый, затем опять красный и т.д., причем на двух соседних светофорах в любой момент времени горит разный цвет. Два автомобиля одновременно начинают движение с постоянными скоростями от двух светофоров, расположенных на расстоянии $2L$ друг от друга, в тот момент, когда на них загорается зеленый цвет. "Задний" автомобиль едет с максимально возможной скоростью, позволяющей проезжать все светофоры без остановок. "Передний" автомобиль движется с постоянной скоростью $v$. Он мгновенно останавливается, если подъезжает к светофору с горящим красным светом, и также мгновенно набирает скорость $v$ после загорания зеленого света. Определите, догонит ли "задний" автомобиль "передний" (и если да, то за какое время), если вышеперечисленные правила движения не нарушаются, а переключение светофоров происходит мгновенно.
Решение:
Решим данную задачу графическим способом.
На приведенной диаграмме (рис.) изображена "пространственно-временная картина дороги" (по горизонтальной оси отложено время, по вертикальной - расстояние). Жирным обозначены точки, соответствующие красному свету на светофоре в данной точке дороги в данный момент времени. Движение автомобиля изображается в виде прямой линии, тангенс угла наклона которой к оси времени равен его скорости. Если линия должна пересечь жирный отрезок ("закрытый светофор"), то она прерывается и возобновляется под тем же углом с правого конца данного отрезка (автомобиль остановился и дождался включения зеленого света). Пересечение двух изображающих линий соответствует встрече автомобилей.
Очевидно, что по условиям задачи "задний" автомобиль движется со скоростью $u = L/T$, поскольку это максимально возможная скорость, при которой изображающая линия не пересечет жирных отрезков (т.е. автомобиль не останавливается на светофорах).
Для движения второго автомобиля можно рассмотреть несколько "пограничных" изображающих линий.
1) Линия 1.
Соответствующая скорость $v_{1}=L/3T$. При этом автомобиль подъедет к следующему светофору в тот момент, когда на нем загорается зеленый свет, и в этот момент его и догонит "задний" автомобиль. При меньших скоростях обгон произойдет еще раньше и его время очевидным образом определится как $t=2L/(u-v)=2LT/(L-vT)$.
2) Линия 2.
Соответствующая скорость $v_{2} = L/2T$. Обгон произойдет в точке $3L$ в момент времени $3T$, так как первый автомобиль будет вынужден остановиться на светофоре. Таким образом, для всех скоростей между линиями 1 и 2 $t=3T$.
Аналогично для скоростей между линиями 2 и 3 (соответствующая скорость $v=2L/3T$ ) $t=4T$, и т.д.
3) Линия 4, соответствующая скорость $v=L/T=u$.
При скоростях больше, чем данная, второй автомобиль не сможет догнать первый, поскольку средняя скорость их обоих будет равна $u$.
Ответ: $t = \begin{cases} \frac{2LT}{LT-v} & \text{ при} 0 \leq v < \frac{L}{3T}, \\
3T & \text{ при} \frac{L}{3T} \leq v < \frac{L}{3T}, \\
nT, n \geq 4 & \text{ при} \frac{(n-3)L}{(n-2)T} \leq v < \frac{(n-2)L}{(n-1)T}, \\
\cdots
\infty & \text{ при} v \geq \frac{L}{T}. \\ \end{cases}$
