ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-02-19   
Детский пружинный пистолет, который можно представить себе в виде пружины конечной массы, прикрепленной к неподвижной стенке, выстреливает шариком со скоростью $v$ (рис.). Если выстрелить шариком вдвое большей массы, то скорость его станет равной $\sqrt{2/3} v$. Какова будет скорость, если выстрелить шариком втрое большей массы?



Решение:


В момент отрыва скорости шарика и конца пружины одинаковы. Отрыв происходит при $x=0$ ($x$ — смещение конца пружины от положения равновесия). Кинетическая энергия массив' ной пружины пропорциональна квадрату скорости: $E_{пр} = \alpha v^{2}$, где $\alpha$ — коэффициент, пропорциональный массе пружины. Из закона сохранения энергии имеем

$\frac{kx_{0}^{2}}{2} = \frac{mv^{2}}{2} + \alpha v^{2}$,
$\frac{kx_{0}^{2}}{2} = 2m \cdot \frac{2}{3} v^{2} \cdot \frac{1}{2} + \alpha \cdot \frac{2}{3}v^{2}$,
$\frac{kx_{0}^{2}}{2} = \frac{3mv_{x}^{2}}{2} + \alpha v_{x}^{2}$

Из первых двух уравнений находим $\alpha$:

$m/2 + \alpha = 2m/3 + 2 \alpha /3$, откуда $\alpha = m/2$.

Подставляя $\alpha$ в последнее уравнение, находим $v_{x}$:

$\frac{kx_{0}^{2}}{2} = mv^{2} = \left ( \frac{3m}{2} + frac{m}{2} \right )v_{x}^{2}$,
$v_{x} = \frac{v \sqrt{2}}{2}$.