Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 226
2014-05-31 
На одной из пластин тонкого конденсатора имеется маленькое отверстие радиусом $r$, затянутое мыльной пленкой. Коэффициент поверхностного натяжения пленки $\sigma$. Конденсатор заряжен до разности потенциалов $U$. Расстояние $d$ между пластинами конденсатора мало по сравнению с линейными размерами пластин. Оцените проги6 $h$ пленки внутрь конденсатора, считая его малым, т. е. рассматривая случай слабого поля.
Решение:
Силы поверхностного натяжения уравновешиваются электрическими силами. Найдем вначале силы поверхностного натяжения.
Приближенно можно считать, что пленка принимает форму сферы радиусом $R$.
На каждый малый элемент границы поверхности пленки длиной $\Delta l$ действует сила поверхностного натяжения $\Delta f = \sigma \Delta l$. Так как пленка имеет две поверхности, то сила $\Delta F$, приложенная к элементу границы пленки, равна $2 \Delta f$:
$\Delta F = 2 \Delta f = 2 \sigma \Delta l$.
Эти силы направлены по касательным к поверхности пленки перпендикулярно отрезку границы $\Delta l$ (рис.). Силу $\bar{\Delta F}$ можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие: одну – в плоскости пластины, а другую - в направлении силовых линий. Обозначим величину последней составляющей через $\Delta F_{n}$. Очевидно, что
$\Delta F_{n} = \Delta F \sin \alpha$,
где $\alpha$ - угол между пластиной и направлением силы $\bar{\Delta F}$. Обращаясь к приведенному на рис. чертежу, замечаем, что $\sin \alpha = r/R$. Радиус $R$ поверхности связан с радиусом $r$ отверстия и прогибом $h$ формулой
$(R-h)^{2}+r^{2}=R^{2}$,
откуда $R = (r^{2}+h^{2})/(2h)$. Считая, что $h \ll r$, приближенно получаем $R \approx r^{2}/(2h)$. Таким образом, $\sin \alpha \approx 2h/r$ и
$\Delta F_{n} \approx 4 \sigma \Delta l h/r$.
Учитывая, что длина границы пленки $l = 2 \pi r$, для равнодействующей $F_{n}$ всех сил $\Delta F_{n}$ получаем
$F_{n}=8 \pi \sigma h$. (1)
Равнодействующая $F_{n}$ должна быть уравновешена силой притяжения пленки к противоположной пластине конденсатора. Найдем величину $F_{эл}$ действующих на пленку электрических сил.
На элементе поверхности пленки площадью $\Delta S$ размещен электрический заряд $\lambda \Delta S$ ($\lambda$ - поверхностная плотность зарядов). Этот заряд находится в поле конденсатора с напряженностью $E$, причем половина этой напряженности создается зарядами одной пластины и половина - зарядами другой. В соответствии с этим на заряд $\lambda \Delta S$ действует сила $\Delta F_{эл}=\lambda \Delta S E /2$. Результирующую силу $F_{эл}$ найдем суммируя силы $\Delta F_{эл}$ по всей площади $S^{\prime}$ поверхности пленки. Так как $S^{\prime} \approx \pi r^{2}$, то
$F_{эл}= \pi \lambda r^{2} E /2$. (2)
В формуле (2) содержатся не известные пока величины $E$ и $\lambda$. Напряженность поля $E$ в конденсаторе определяется формулой $E=U/d$. Заряды размещены с той же поверхностной плотностью $\lambda$, что и заряды на пластинах. Обозначим заряд пластины конденсатора через $Q$ и площадь ее поверхности через $S$. Тогда
$\lambda = Q /S$. (3)
Заряд $Q$ можно выразить через емкость конденсатора и приложенную к нему разность потенциалов: $Q=CV$. Площадь $S$ находится из формулы емкости плоского конденсатора: $S = \varepsilon_{0} Cd$. Подставляя эти выражения в формулу (3), получаем
$\lambda = \frac{CU}{\varepsilon_{0}Cd}=\frac{U}{\varepsilon_{0}d}$.
Из формулы (2) следует
$F_{эл}=\frac{\pi U^{2}r^{2}}{2 \varepsilon_{0}d^{2}}$. (4)
Приравнивая $F_{n}$ и $F_{эл}$ из формул (1) и (4), окончательно получаем
$h=\frac{U^{2}r^{2}}{16 \varepsilon_{0} \sigma d^{2}}$.
На одной из пластин тонкого конденсатора имеется маленькое отверстие радиусом $r$, затянутое мыльной пленкой. Коэффициент поверхностного натяжения пленки $\sigma$. Конденсатор заряжен до разности потенциалов $U$. Расстояние $d$ между пластинами конденсатора мало по сравнению с линейными размерами пластин. Оцените проги6 $h$ пленки внутрь конденсатора, считая его малым, т. е. рассматривая случай слабого поля.
Решение:
Силы поверхностного натяжения уравновешиваются электрическими силами. Найдем вначале силы поверхностного натяжения.
Приближенно можно считать, что пленка принимает форму сферы радиусом $R$.
На каждый малый элемент границы поверхности пленки длиной $\Delta l$ действует сила поверхностного натяжения $\Delta f = \sigma \Delta l$. Так как пленка имеет две поверхности, то сила $\Delta F$, приложенная к элементу границы пленки, равна $2 \Delta f$:
$\Delta F = 2 \Delta f = 2 \sigma \Delta l$.
Эти силы направлены по касательным к поверхности пленки перпендикулярно отрезку границы $\Delta l$ (рис.). Силу $\bar{\Delta F}$ можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие: одну – в плоскости пластины, а другую - в направлении силовых линий. Обозначим величину последней составляющей через $\Delta F_{n}$. Очевидно, что
$\Delta F_{n} = \Delta F \sin \alpha$,
где $\alpha$ - угол между пластиной и направлением силы $\bar{\Delta F}$. Обращаясь к приведенному на рис. чертежу, замечаем, что $\sin \alpha = r/R$. Радиус $R$ поверхности связан с радиусом $r$ отверстия и прогибом $h$ формулой
$(R-h)^{2}+r^{2}=R^{2}$,
откуда $R = (r^{2}+h^{2})/(2h)$. Считая, что $h \ll r$, приближенно получаем $R \approx r^{2}/(2h)$. Таким образом, $\sin \alpha \approx 2h/r$ и
$\Delta F_{n} \approx 4 \sigma \Delta l h/r$.
Учитывая, что длина границы пленки $l = 2 \pi r$, для равнодействующей $F_{n}$ всех сил $\Delta F_{n}$ получаем
$F_{n}=8 \pi \sigma h$. (1)
Равнодействующая $F_{n}$ должна быть уравновешена силой притяжения пленки к противоположной пластине конденсатора. Найдем величину $F_{эл}$ действующих на пленку электрических сил.
На элементе поверхности пленки площадью $\Delta S$ размещен электрический заряд $\lambda \Delta S$ ($\lambda$ - поверхностная плотность зарядов). Этот заряд находится в поле конденсатора с напряженностью $E$, причем половина этой напряженности создается зарядами одной пластины и половина - зарядами другой. В соответствии с этим на заряд $\lambda \Delta S$ действует сила $\Delta F_{эл}=\lambda \Delta S E /2$. Результирующую силу $F_{эл}$ найдем суммируя силы $\Delta F_{эл}$ по всей площади $S^{\prime}$ поверхности пленки. Так как $S^{\prime} \approx \pi r^{2}$, то
$F_{эл}= \pi \lambda r^{2} E /2$. (2)
В формуле (2) содержатся не известные пока величины $E$ и $\lambda$. Напряженность поля $E$ в конденсаторе определяется формулой $E=U/d$. Заряды размещены с той же поверхностной плотностью $\lambda$, что и заряды на пластинах. Обозначим заряд пластины конденсатора через $Q$ и площадь ее поверхности через $S$. Тогда
$\lambda = Q /S$. (3)
Заряд $Q$ можно выразить через емкость конденсатора и приложенную к нему разность потенциалов: $Q=CV$. Площадь $S$ находится из формулы емкости плоского конденсатора: $S = \varepsilon_{0} Cd$. Подставляя эти выражения в формулу (3), получаем
$\lambda = \frac{CU}{\varepsilon_{0}Cd}=\frac{U}{\varepsilon_{0}d}$.
Из формулы (2) следует
$F_{эл}=\frac{\pi U^{2}r^{2}}{2 \varepsilon_{0}d^{2}}$. (4)
Приравнивая $F_{n}$ и $F_{эл}$ из формул (1) и (4), окончательно получаем
$h=\frac{U^{2}r^{2}}{16 \varepsilon_{0} \sigma d^{2}}$.
