Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2244
2017-01-29 
Вода вытекает из широкого открытого сосуда через горизонтальный цилиндрический капилляр радиусом $r_{0} = 1 мм$ и длиной $l = 10 см$, расположенный у дна сосуда. Какая мощность $P$ расходуется на выделение теплоты, если высота воды в сосуде $h = 5 см$. Считать течение ламинарным, динамическую вязкость $\eta \approx 10^{-2} П$.
Решение:
Пусть узкий слои толщиной $\Delta z$ между двумя плоскостями заполнен жидкостью с динамической вязкостью $\eta$, а сами плоскости движутся в направлении оси $x$ со скоростями $v_{x}$ и $v_{x} + \Delta v_{x}$, (рис.). Тогда силы вязкого трения, действующие на эти плоскости, соответственно будут равны $\eta \Delta v_{x} \Delta x$ и $- \eta \Delta v_{x}/ \Delta x$ (в расчете на единицу площади). Полная диссипируемая мощность в слое определяется соотношением
$- \eta ( \Delta v_{x}/ \Delta x) v_{x} + \eta ( \Delta v_{x}/ \Delta x)(v_{x} + \Delta v_{x}) = \eta ( \Delta v_{x}/ \Delta z)^{2} \Delta z \approx \eta (dv_{x}/ dz)^{2} \Delta z$.
Поскольку разность давлений на концах капилляра $p = \rho gh$, то распределение скоростей в нем (см. решение задачи 2243) $v(r) = ( \rho gh/4 \eta l)(r_{0}^{2} - r^{2})$.
Выделяя в жидкости тонкие цилиндрические слои и применяя полученною выше формулу для диссипации, получаем для полной мощности, диссипируемой в капилляре:
$P = \eta l \int_{0}^{r_{0}} \left ( \frac{dv_{x}}{dr} \right )^{2} \cdot 2 \pi r dr = \frac{ \pi }{8} \frac{( \rho g h r_{0}^{2})^{2}}{ \eta l} \approx 10^{-3} Вт$
Вода вытекает из широкого открытого сосуда через горизонтальный цилиндрический капилляр радиусом $r_{0} = 1 мм$ и длиной $l = 10 см$, расположенный у дна сосуда. Какая мощность $P$ расходуется на выделение теплоты, если высота воды в сосуде $h = 5 см$. Считать течение ламинарным, динамическую вязкость $\eta \approx 10^{-2} П$.
Решение:
Пусть узкий слои толщиной $\Delta z$ между двумя плоскостями заполнен жидкостью с динамической вязкостью $\eta$, а сами плоскости движутся в направлении оси $x$ со скоростями $v_{x}$ и $v_{x} + \Delta v_{x}$, (рис.). Тогда силы вязкого трения, действующие на эти плоскости, соответственно будут равны $\eta \Delta v_{x} \Delta x$ и $- \eta \Delta v_{x}/ \Delta x$ (в расчете на единицу площади). Полная диссипируемая мощность в слое определяется соотношением
$- \eta ( \Delta v_{x}/ \Delta x) v_{x} + \eta ( \Delta v_{x}/ \Delta x)(v_{x} + \Delta v_{x}) = \eta ( \Delta v_{x}/ \Delta z)^{2} \Delta z \approx \eta (dv_{x}/ dz)^{2} \Delta z$.
Поскольку разность давлений на концах капилляра $p = \rho gh$, то распределение скоростей в нем (см. решение задачи 2243) $v(r) = ( \rho gh/4 \eta l)(r_{0}^{2} - r^{2})$.
Выделяя в жидкости тонкие цилиндрические слои и применяя полученною выше формулу для диссипации, получаем для полной мощности, диссипируемой в капилляре:
$P = \eta l \int_{0}^{r_{0}} \left ( \frac{dv_{x}}{dr} \right )^{2} \cdot 2 \pi r dr = \frac{ \pi }{8} \frac{( \rho g h r_{0}^{2})^{2}}{ \eta l} \approx 10^{-3} Вт$
